(2,0) Questão 2. (Faça um desenho ilustrativo.) Considere a reta
r:(x, y, z)=(2,-1,3)+t(1,-1,2), t in R
e o ponto P=(0,1,-2).
a) Determine uma equação geral do plano pi que passa por P e é perpendicular a r.
b) Determine o ponto Q de interseção entre r e pi.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta
r: (x,y,z) = (2,-1,3) + t,(1,-1,2), tinR,
e o ponto P=(0,1,-2). Pede-se:
a) uma equação geral do plano pi que passa por P e é perpendicular a r;
b) o ponto Q de interseção entre r e pi.

Passo 2

Para que o plano pi seja perpendicular à reta r, basta tomar como vetor normal do plano a direção da reta. A direção de r é
vec v = (1,-1,2)
Seja vec n = vec v o vetor normal do plano. A equação vetorial do plano com normal vec n passando por P=(0,1,-2) é
vec ncdotl((x,y,z)-Pr)=0

Passo 3

Substituindo vec n=(1,-1,2) e P=(0,1,-2) na forma vec ncdot((x,y,z)-P)=0, temos
1,(x-0);+;(-1),(y-1);+;2,(z+2)=0
Isso dá
x - (y-1) + 2(z+2) = 0 Longrightarrow x - y +1 +2z +4 = 0 Longrightarrow x - y +2z +5 = 0

Passo 4

Para achar o ponto Q de interseção, usamos a parametração da reta
(x,y,z) = (2+t,,-1-t,,3+2t)
e impomos que esse ponto satisfaça a equação do plano x - y +2z +5=0. Substituindo,
(2+t) - (-1-t) +2(3+2t) +5 = 0 ;Longrightarrow; 2+t +1 +t +6+4t +5 = 0 ;Longrightarrow; 6t +14 = 0 ;Longrightarrow; t = -tfrac73

Passo 5

Substituindo t=-tfrac73 na parametração de r, obtemos
Q = l(2 - tfrac73, ,-1 + tfrac73, ,3 - tfrac143r) = l(-tfrac13,,tfrac43,,-tfrac53r)

Resposta

Equação do plano pi:
x - y + 2z + 5 = 0
Ponto de interseção Q:
Q = l(-tfrac13,,tfrac43,,-tfrac53r)

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