Considere o subespaço vetorial W formado pelas matrizes de M2(R), simétricas.
Mostre que as matrizes:
A=(ll 1 & 0 0 & 0 ), B=(ll 0 & 0 0 & 1 ) e C=(ll 0 & 1 1 & 0 )
geram o subespaço W.

Passo 1

O enunciado define WsubsetM2(R) como o subespaço das matrizes simétricas e pede para mostrar que as matrizes
A=1&0[4pt]0&0, B=0&0[4pt]0&1, C=0&1[4pt]1&0
geram W. O conteúdo envolvido é o de conjunto gerador (span) em espaço vetorial e a caracterização de uma matriz simétrica.]

Passo 2

Seja Min W. Por ser simétrica, tem a forma
M=m11&m12[4pt]m12&m22,
com m11,m12,m22inR.]

Passo 3

Considere a combinação linear
alpha A+beta C+gamma B =alpha1&0[4pt]0&0 +beta0&1[4pt]1&0 +gamma0&0[4pt]0&1 =alpha&beta[4pt]beta&gamma
Para que isso seja igual a M, basta escolher
alpha=m11, beta=m12, gamma=m22 ]

Passo 4

Como qualquer Min W pode ser escrito como alpha A+beta C+gamma B, concluímos que
SpanA,B,C=W,
ou seja, A, B e C geram W.

Resposta

Qualquer matriz simétrica M=l(mijr) pode ser escrita como
M=m11,A + m12,C + m22,B,
logo A,B,C gera W.

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