Considere o subespaço vetorial
formado pelas matrizes de
, simétricas.
Mostre que as matrizes:
geram o subespaço
W .
Passo 1
O enunciado define
WsubsetM2(R) como o subespaço das matrizes simétricas e pede para mostrar que as matrizes
geram
W . O conteúdo envolvido é o de conjunto gerador (span) em espaço vetorial e a caracterização de uma matriz simétrica.]
Passo 2
Seja
Min W . Por ser simétrica, tem a forma
com
m11,m12,m22inR .]
Passo 3
Considere a combinação linear
Para que isso seja igual a
M , basta escolher
Passo 4
Como qualquer
Min W pode ser escrito como
alpha A+beta C+gamma B , concluímos que
ou seja,
A ,
B e
C geram
W .
Resposta
Qualquer matriz simétrica
M=l(mijr) pode ser escrita como
logo
A,B,C gera
W .