Sejam alpha=u1, u2 e beta=v1, v2 bases ordenadas de V=R^2, tais que
u1=v1+2 v2 e u2=-2 v1+v2
Encontre [I]alpha^beta.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de representação da transformação identidade
I:Vto V
quando o espaço de chegada usa a base beta=v1,v2 e o espaço de partida usa a base alpha=u1,u2. Para isso, basta escrever cada vetor uj em coordenadas na base beta.

Passo 2

Já temos as expressões de u1 e u2 em função de v1,v2:
u1=v1+2v2, u2=-2v1+v2
Isso mostra diretamente as coordenadas de u1 e u2 na base beta:
[u1]beta = 12, [u2]beta = -21

Passo 3

Na matriz [I]alpha^beta, a coluna j é exatamente [uj]beta. Logo,
[I]alpha^beta = 1 & -2 2 & 1

Resposta

[I]alpha^beta = 1 & -2 2 & 1

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