Considere os seguintes subespaços vetoriais U e V de R^3 :
U=(x, y, z) in R^3 / x+y=0 e, V=(x, y, z) in R^3 / z=0. Determine:
b) U cap V e sua dimensão.

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de R^3:
U=(x,y,z)inR^3 mid x+y=0 e
V=(x,y,z)inR^3 mid z=0.
Pedem para determinar Ucap V e sua dimensão. Vamos usar as equações que caracterizam cada subespaço e impor ambas simultaneamente.

Passo 2

Um vetor (x,y,z) pertence a Ucap V se e somente se satisfaz
  1. x + y = 0 (condição de U),
  2. z = 0 (condição de V).
    Da segunda condição vem imediatamente z=0. Da primeira obtém-se y=-x. Logo todo vetor de Ucap V tem a forma
(x,y,z) = (x,,-x,,0)

Passo 3

Podemos parametrizar esse conjunto escrevendo x=t, com tinR. Assim
Ucap V = (t,,-t,,0)mid tinR
Para ver a dimensão, note que esse espaço é gerado pelo único vetor (1,-1,0), pois
(t,-t,0)=t,(1,-1,0)

Resposta

Ucap V = (t,,-t,,0)mid tinR e dim(Ucap V)=1.

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