Seja T: R^3 R^2 a transformação linear tal que:
T(1,-1,2)=(7,5),, T(-1,1,1)=(-4,-8) e T(-1,2,1)=(-7,-10)
Determine T(x, y, z).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear e fornece
Como é linear, existe uma matriz tal que
Nossa meta será determinar os seis coeficientes de .

Passo 2

Denotemos
A = a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 ,
de modo que
T(x,y,z)=l(a11x+a12y+a13z,;a21x+a22y+a23zr)
Impondo as três imagens, obtemos dois sistemas lineares para (a11,a12,a13) e (a21,a22,a23).
Para o primeiro componente:
a11-a12+2a13=7, -,a11+a12+a13=-4, -,a11+2a12+a13=-7,
e para o segundo componente:
a21-a22+2a23=5, -,a21+a22+a23=-8, -,a21+2a22+a23=-10

Passo 3

Resolvendo o primeiro sistema:
da primeira equação a11=7+a12-2a13. Substituindo nas outras duas e eliminando, achamos
a13=1, a12=-3, a11=2

Passo 4

Resolvendo o segundo sistema de forma análoga:
da primeira equação a21=5+a22-2a23. Substituindo e eliminando, obtemos
a23=-1, a22=-2, a21=5

Passo 5

Reunindo, a matriz de T é
A= 2 & -3 & 1 5 & -2 & -1 ,
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T(x,y,z)=l(2x-3y+z,;5x-2y-zr)

Resposta

T(x,y,z)=l(2x-3y+z,;5x-2y-zr)

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