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Para cada uma delas, determine qual delas é um Isomorfismo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem quatro transformações lineares diferentes aqui e precisa descobrir quais delas são isomorfismos. Isomorfismo é um conceito da matemática que basicamente diz quando duas estruturas são “iguais” de certa forma, ou seja, elas têm a mesma forma ou estrutura. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como transformação linear, matrizes e propriedades de invertibilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é um isomorfismo se ela for injetora (cada elemento do conjunto de chegada tem no máximo um elemento correspondente no conjunto de partida) e sobretora (todos os elementos do conjunto de chegada têm pelo menos um elemento correspondente no conjunto de partida). Quando isso acontece, a transformação tem uma matriz inversa, ou seja, podemos “desfazer” a transformação.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada uma das quatro transformações:
Transformação 1:
Aqui, estamos lidando com uma transformação de para . A matriz dessa transformação é:
Para verificar se é um isomorfismo, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A) = (3)(1) - (-1)(-3) = 3 - 3 = 0
Como o determinante é zero, a matriz não é invertível. Portanto, Transformação 1 não é um isomorfismo.
Transformação 2:
T(x, y, z) = (x + 2y - z, 2x - y + z)
Aqui, a transformação vai de R^3 para R^2 . Para ser um isomorfismo, precisamos que as dimensões sejam iguais, já que isomorfismos entre espaços vetoriais requerem que eles tenham a mesma dimensão. Como 3 neq 2 , Transformação 2 não pode ser um isomorfismo.
Transformação 3:
T(x, y, z) = (x - 2y - z, -x + 2y + z, x - 3z)
Essa transformação vai de R^3 para R^3 . A matriz correspondente é: