Considere as seguintes transformações lineares;
  1. T: R^2 R^2, T(x, y)=(3 x-y,-3 x+y).
  2. T: R^3 R^2, T(x, y, z)=(x+2 y-z, 2 x-y+z).
  3. T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x-2 y-z,-x+2 y+z, x-3 z).
  4. T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x-3 y, x-z, z-x).
    Para cada uma delas, determine qual delas é um Isomorfismo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem quatro transformações lineares diferentes aqui e precisa descobrir quais delas são isomorfismos. Isomorfismo é um conceito da matemática que basicamente diz quando duas estruturas são “iguais” de certa forma, ou seja, elas têm a mesma forma ou estrutura. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como transformação linear, matrizes e propriedades de invertibilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear T: R^n R^m é um isomorfismo se ela for injetora (cada elemento do conjunto de chegada tem no máximo um elemento correspondente no conjunto de partida) e sobretora (todos os elementos do conjunto de chegada têm pelo menos um elemento correspondente no conjunto de partida). Quando isso acontece, a transformação tem uma matriz inversa, ou seja, podemos “desfazer” a transformação.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada uma das quatro transformações:
Transformação 1:
T(x, y) = (3x - y, -3x + y)
Aqui, estamos lidando com uma transformação de R^2 para R^2 . A matriz dessa transformação é:
A = 3 & -1 -3 & 1
Para verificar se é um isomorfismo, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A) = (3)(1) - (-1)(-3) = 3 - 3 = 0
Como o determinante é zero, a matriz não é invertível. Portanto, Transformação 1 não é um isomorfismo.
Transformação 2:
T(x, y, z) = (x + 2y - z, 2x - y + z)
Aqui, a transformação vai de R^3 para R^2 . Para ser um isomorfismo, precisamos que as dimensões sejam iguais, já que isomorfismos entre espaços vetoriais requerem que eles tenham a mesma dimensão. Como 3 neq 2 , Transformação 2 não pode ser um isomorfismo.
Transformação 3:
T(x, y, z) = (x - 2y - z, -x + 2y + z, x - 3z)
Essa transformação vai de R^3 para R^3 . A matriz correspondente é:
A = 1 & -2 & -1 -1 & 2 & 1 1 & 0 & -3
Vamos calcular o determinante:
det(A) = 1 cdot (2 cdot (-3) - 1 cdot 0) - (-2) cdot (-1 cdot (-3) - 1 cdot 1) + (-1) cdot (-1 cdot 0 - 2 cdot 1) = 1 cdot (-6 - 0) - (-2) cdot (3 - 1) + (-1) cdot (0 - 2) = -6 - (-2)(2) + (-1)(-2) = -6 + 4 + 2 = 0
Como o determinante é zero, a matriz não é invertível. Portanto, Transformação 3 não é um isomorfismo.
Transformação 4:
T(x, y, z) = (x - 3y, x - z, z - x)
Essa também vai de R^3 para R^3 . A matriz é:
A = 1 & -3 & 0 1 & 0 & -1 -1 & 0 & 1
Vamos calcular o determinante:
det(A) = 1 cdot (0 cdot 1 - (-1) cdot 0) - (-3) cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot (-1)) + 0 cdot (1 cdot 0 - 0 cdot (-1)) = 1 cdot (0 - 0) - (-3) cdot (1 - 1) + 0 cdot (0 - 0) = 0 - (-3)(0) + 0 = 0
Mais uma vez, o determinante é zero, então a matriz não é invertível. Logo, Transformação 4 não é um isomorfismo.

Resposta

Nenhuma das transformações T1, T2, T3 e T4 é um isomorfismo.

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