Considere as seguintes transformações lineares planas:
T1 : reflexão em torno da reta y=x;
T2 : um cisalhamento horizontal de fator 2 ;
T3 : uma rotação de 90^circ no sentido anti-horário.
Determine a expressão e a matriz da transformação linear T=T3 circ T2 circ T1.

Passo 1

O enunciado dá três transformações lineares em R^2:
1. T1 é a reflexão em torno da reta y=x.
2. T2 é um cisalhamento horizontal de fator 2 (isto é, manda (u,v)mapsto(u+2v,v)).
3. T3 é uma rotação de 90^circ no sentido anti-horário.
Queremos T=T3circ T2circ T1. A estratégia é: achar as matrizes M1,M2,M3 no base canônica e depois calcular
M ;=;M3,M2,M1,

Passo 2

Reflexão em torno de y=x troca x e y. Logo, para (x,y) temos
T1(x,y)=(y,x),
e a matriz no base canônica é
M1 ;=;0 & 1[6pt]1 & 0 ]

Passo 3

Cisalhamento horizontal de fator 2 envia
(u,v);mapsto;(u+2v,;v),
logo sua matriz é
M2 ;=;1 & 2[4pt]0 & 1 ]

Passo 4

Rotação de 90^circ CCW (anti-horário) manda
(p,q);mapsto;(-q,;p),
com matriz
M3 ;=;0 & -1[4pt]1 & 0 ]

Passo 5

Agora calculamos
M ;=;M3,M2,M1
em duas etapas. Primeiro
M2M1 =1 & 20 & 1 0 & 11 & 0 =2 & 11 & 0
Em seguida
M =0 & -11 & 0 2 & 11 & 0 =-1 & 02 & 1

Passo 6

Para ver a fórmula em coordenadas, aplicamos a matriz M a (x,y):
T(x,y) =l(-1cdot x+0cdot y,;2cdot x+1cdot yr) =(,-x,;2x+y)

Resposta

A transformação composta é
T(x,y)=(-x,;2x+y)
e sua matriz na base canônica é
-1 & 0[4pt] 2 & 1 ]

Exercícios relacionados