Considere as seguintes transformações lineares planas:
: reflexão em torno da reta
;
: um cisalhamento horizontal de fator 2 ;
: uma rotação de
no sentido anti-horário.
Determine a expressão e a matriz da transformação linear inversa de
.
Determine a expressão e a matriz da transformação linear inversa de
Passo 1
Resumindo: temos três transformações lineares em
-
: reflexão na reta . -
: cisalhamento horizontal de fator , ou seja
-
: rotação de no sentido anti-horário, isto é
Definimos então
e queremos encontrar a fórmula de
e sua matriz.
Passo 2
Vamos achar o inverso de cada peça:
- A reflexão
é involutiva, logo
- O cisalhamento
tem inversa
- A rotação
de tem inversa a rotação de , logo
Passo 3
Como
, aplicamos na ordem:
-
. -
. -
.
Logo
Passo 4
Agora escrevemos a matriz de
. Sabemos que
pois
Resposta
A inversa é
e sua matriz na base canônica é