Considere as seguintes transformações lineares planas:
T1 : reflexão em torno da reta y=x;
T2 : um cisalhamento horizontal de fator 2 ;
T3 : uma rotação de 90^circ no sentido anti-horário.
Determine a expressão e a matriz da transformação linear inversa de T.

Passo 1

Resumindo: temos três transformações lineares em R^2
  1. T1: reflexão na reta y=x.
  2. T2: cisalhamento horizontal de fator 2, ou seja
T2(x,y) = (,x+2y,;y,)
  1. T3: rotação de 90^circ no sentido anti-horário, isto é
T3(x,y) = (-y,;x)
Definimos então
T = T3circ T2circ T1
e queremos encontrar a fórmula de T^-1 e sua matriz.

Passo 2

Vamos achar o inverso de cada peça:
  • A reflexão T1 é involutiva, logo
T1^-1 = T1, T1^-1(x,y) = (y,x)
  • O cisalhamento T2(x,y)=(x+2y,y) tem inversa
T2^-1(x,y) = (,x-2y,;y,)
  • A rotação T3 de +90^circ tem inversa a rotação de -90^circ, logo
T3^-1(x,y) = (,y,;-x,)

Passo 3

Como (T3circ T2circ T1)^-1 = T1^-1circ T2^-1circ T3^-1, aplicamos na ordem:
  1. T3^-1(x,y) = (y,-x).
  2. T2^-1(y,-x) = l(y-2(-x),,-xr) = (y+2x,,-x).
  3. T1(y+2x,-x) = (-x,;y+2x).
Logo
T^-1(x,y) = l(-x,;y+2xr)

Passo 4

Agora escrevemos a matriz de . Sabemos que
pois

Resposta

A inversa é
T^-1(x,y)=(-x,;y+2x),
e sua matriz na base canônica é
-1 & 0 2 & 1

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