Determine a transformação que leva a uma rotação de 30^circ em torno do eixo z, seguida de uma rotação de 30^circ em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de transformação que resultamos de aplicar primeiro uma rotação de 30^circ em torno do eixo z e, em seguida, uma rotação de 30^circ em torno do eixo y. O conteúdo é multiplicação de matrizes de rotação em 3D. Para resolver, vamos escrever a matriz de cada rotação e depois compô-las pela multiplicação adequada.

Passo 2

A matriz de rotação em torno do eixo z de ângulo theta=30^circ (rotação ativa) é
Rz(30^circ) = cos(30^circ) & -sin(30^circ) & 0 sin(30^circ) & cos(30^circ) & 0 0 & 0 & 1

Passo 3

A matriz de rotação em torno do eixo y de ângulo phi=30^circ é
Ry(30^circ) = cos(30^circ) & 0 & sin(30^circ) 0 & 1 & 0 -sin(30^circ) & 0 & cos(30^circ)

Passo 4

Como aplicamos primeiro Rz e depois Ry, a composição é
R = Ry(30^circ),Rz(30^circ)
Vamos calcular o produto:
R = cosphi & 0 & sinphi 0 & 1 & 0 -sinphi& 0 & cosphi costheta & -sintheta & 0 sintheta & costheta & 0 0 & 0 & 1

Passo 5

Substituindo theta=phi=30^circ, cos(30^circ)=tfracraiz32 e sin(30^circ)=tfrac12, e fazendo a multiplicação, obtemos
R = cosphi,costheta & -cosphi,sintheta & sinphi[6pt] sintheta & costheta & 0 [6pt] -sinphi,costheta& sinphi,sintheta & cosphi = raiz32cdotraiz32 & -raiz32cdot12 & 12[6pt] 12 & raiz32 & 0 [6pt] -12cdotraiz32 & 12cdot12 & raiz32 ]

Passo 6

Agora simplificamos cada entrada:
R = 34 & -raiz34 & 12[4pt] 12 & raiz32 & 0 [4pt] -raiz34 & 14 & raiz32 ]

Resposta

]

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