Encontre a transformação linear que tem o efeito de uma rotação de em torno do eixo , seguido de uma projeção sobre o plano yz.
Passo 1
O problema pede a aplicação de duas transformações lineares em sobre um vetor :
Uma rotação de ângulo em torno do eixo .
Em seguida, projeção sobre o plano (ou seja, anular a componente , deixando inalterados).
Para resolver, vamos escrever as matrizes de cada transformação na base canônica e depois compô-las (multiplicação de matrizes).
Passo 2
A matriz da rotação de ângulo em torno do eixo é, pelo uso da regra da mão direita,
pois isso envia
(x,y,z)mapsto l(xcos c + zsin c,;y,;-,xsin c+zcos cr)
Passo 3
A projeção ortogonal sobre o plano yz anula a componente x e mantém y,z. Sua matriz é
Pyz = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ,
pois (x,y,z)mapsto(0,y,z).
Passo 4
A transformação composta (primeiro rotacionar, depois projetar) tem matriz
A ;=; Pyz,Ry(c)
Basta multiplicar Pyz por Ry(c):
A = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , cos c & 0 & sin c 0 & 1 & 0 -,sin c & 0 & cos c = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -,sin c & 0 & cos c
Resposta
A matriz da transformação linear que faz a rotação de ângulo c em torno de y seguida da projeção no plano yz é