Encontre a transformação linear que tem o efeito de uma rotação de c em torno do eixo y, seguido de uma projeção sobre o plano yz.

Passo 1

O problema pede a aplicação de duas transformações lineares em R^3 sobre um vetor v=(x,y,z):
  1. Uma rotação de ângulo c em torno do eixo y.
  2. Em seguida, projeção sobre o plano yz (ou seja, anular a componente x, deixando y,z inalterados).
    Para resolver, vamos escrever as matrizes de cada transformação na base canônica e depois compô-las (multiplicação de matrizes).

Passo 2

A matriz da rotação de ângulo c em torno do eixo y é, pelo uso da regra da mão direita,
Ry(c) = cos c & 0 & sin c 0 & 1 & 0 -,sin c & 0 & cos c ,
pois isso envia
(x,y,z)mapsto l(xcos c + zsin c,;y,;-,xsin c+zcos cr)

Passo 3

A projeção ortogonal sobre o plano yz anula a componente x e mantém y,z. Sua matriz é
Pyz = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ,
pois
(x,y,z)mapsto(0,y,z).

Passo 4

A transformação composta (primeiro rotacionar, depois projetar) tem matriz
A ;=; Pyz,Ry(c)
Basta multiplicar Pyz por Ry(c):
A = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , cos c & 0 & sin c 0 & 1 & 0 -,sin c & 0 & cos c = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -,sin c & 0 & cos c

Resposta

A matriz da transformação linear que faz a rotação de ângulo c em torno de y seguida da projeção no plano yz é
boxed 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -,sin c & 0 & cos c

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