Dada a matriz de transição [I]A, B=[rrr2 & 0 & -1 1 & 1 & 2 0 & 1 & 1], determine a base A, sabendo que B=(1,1,0),(1,1,1),(0,1,1).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de transição
[I]A,B = 2 & 0 & -1 1 & 1 & 2 0 & 1 & 1
que leva coordenadas de um vetor na base A às coordenadas do mesmo vetor na base B. A base B no sistema canônico é
b1 = (1,1,0),
b2 = (1,1,1) e
b3 = (0,1,1).
Precisamos encontrar a base A = a1,a2,a3 também em coordenadas canônicas.

Passo 2

Cada coluna j de [I]A,B é o vetor aj expresso em coordenadas da base B. Em outras palavras, se chamamos de l[ajr]B a coluna j, então
aj ;=;sumi=1^3 l([I]A,Br)ij,bi

Passo 3

Para a1, a primeira coluna de [I]A,B é 210. Assim,
a1 = 2,b1 + 1,b2 + 0,b3
Substituindo b1=(1,1,0) e b2=(1,1,1), obtemos
a1 = 2(1,1,0) + (1,1,1) = (3,3,1)

Passo 4

Para a2, a segunda coluna é 011. Logo,
a2 = 0,b1 + 1,b2 + 1,b3 = (1,1,1) + (0,1,1) = (1,2,2)

Passo 5

Para a3, a terceira coluna é -121. Então,
a3 = -1,b1 + 2,b2 + 1,b3 = -(1,1,0) + 2(1,1,1) + (0,1,1) = (1,2,3)

Resposta

A base A em coordenadas canônicas é
A = (3,3,1),,(1,2,2),,(1,2,3)

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