Verdadeiro ou falso? Justifique!
Duas matrizes equivalentes por linha possuem os mesmos autovalores.

Passo 1

O enunciado pergunta se “duas matrizes equivalentes por linha possuem os mesmos autovalores”. O tema é Álgebra Linear, mais especificamente a relação entre transformações elementares de linha e autovalores.

Passo 2

Dizemos que duas matrizes A e B são equivalentes por linha se existe uma matriz elementar invertível E (correspondente a uma sequência de operações de linha) tal que
B = E,A

Passo 3

Um escalar lambda é autovalor de uma matriz M se existe vetor não nulo v tal que
M,v = lambda,v

Passo 4

Para preservar autovalores é necessário que a transformação seja de similaridade, ou seja, de forma
B = P,A,P^-1,
com P invertível. A equivalência por linha só multiplica à esquerda ( B=E,A), sem a compensação pela direita, portanto em geral altera o polinômio característico e os autovalores.

Passo 5

Apresentamos um contra\mbox{-}exemplo. Seja
A = 1 & 0 0 & 2, E = 2 & 0 0 & 1,
então
B = E,A = 2 & 0 0 & 2
Os autovalores de A são 1,2, enquanto os de B são 2,2. Logo eles diferem.

Resposta

Falso.

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