Verdadeiro ou falso? Justifique!
Duas matrizes equivalentes por linha possuem os mesmos autovalores.
Passo 1
O enunciado pergunta se “duas matrizes equivalentes por linha possuem os mesmos autovalores”. O tema é Álgebra Linear, mais especificamente a relação entre transformações elementares de linha e autovalores.
Passo 2
Dizemos que duas matrizes e são equivalentes por linha se existe uma matriz elementar invertível (correspondente a uma sequência de operações de linha) tal que
Passo 3
Um escalar é autovalor de uma matriz se existe vetor não nulo tal que
Passo 4
Para preservar autovalores é necessário que a transformação seja de similaridade, ou seja, de forma
com invertível. A equivalência por linha só multiplica à esquerda (), sem a compensação pela direita, portanto em geral altera o polinômio característico e os autovalores.
Passo 5
Apresentamos um contra\mbox{-}exemplo. Seja
então
B = E,A = 2 & 0 0 & 2
Os autovalores de A são 1,2, enquanto os de B são 2,2. Logo eles diferem.