Considere os seguintes vetores de \mathbb{R}^{3} :
\mathbf{u}_{1}=\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -1 \\\\ 2 \end{array}\right], \quad \mathbf{u}_{2}=\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ -1 \\\\ -2 \end{array}\right], \quad \mathbf{u}_{3}=\left[\begin{array}{c} 2 \\\\ -7 \\\ a^{2}-1 \end{array}\right], \quad \mathbf{y}=\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 2 \\\ a+3 \end{array}\right] .
Determine o(s) valor(es) de a tal(is) que
o vetor \mathbf{y} pertença ao espaço gerado pelo conjunto \left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}\right\}.

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores de \mathbb{R}^{3} e pede: determinar os valores de a tais que o vetor \mathbf{y} pertence ao espaço gerado pelo conjunto \{\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3}\}.
Os vetores fornecidos são
\mathbf{u}_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix},\quad \mathbf{u}_{2}=\begin{pmatrix}3\\\ -1\\\ -2\end{pmatrix},\quad \mathbf{u}_{3}=\begin{pmatrix}2\\\ -7\a^{2}-1\end{pmatrix},\quad \mathbf{y}=\begin{pmatrix}-3\\\ 2\a+3\end{pmatrix}.
Informações importantes extraídas do enunciado:
\text{Queremos todos os valores de }a\in\mathbb{R}\text{ tais que }\mathbf{y}\in\operatorname{span}\{\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3}\}.

Passo 2

Entendendo o que significa " \mathbf{y}\) pertence ao espaço gerado por \(\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3\}\)": isso quer dizer que existem escalares \(x_{1},x_{2},x_{3}\) tais que a combinação linear \[x_{1}\mathbf{u}_{1}+x_{2}\mathbf{u}_{2}+x_{3}\mathbf{u}_{3}=\mathbf{y}.
Para achar esses escalares montamos um sistema linear nas componentes. Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=-3,\\[4pt] - x_{1}-x_{2}-7x_{3}=2,\\[4pt] 2x_{1}-2x_{2}+(a^{2}-1)x_{3}=a+3. \end{cases}
Vou resolver esse sistema e ver para quais a\] ele tem solução — se tiver solução, então \(\mathbf{y} está no span; se não tiver, não está.]

Passo 3

Primeiro elimino x_{1} resolvendo a primeira equação para x_{1}:
x_{1}=-3-3x_{2}-2x_{3}.
Substituo essa expressão nas equações 2 e 3.
Substituindo na segunda equação:
-(-3-3x_{2}-2x_{3})-x_{2}-7x_{3}=2.
Faço as contas passo a passo:
3+3x_{2}+2x_{3}-x_{2}-7x_{3}=2
3+2x_{2}-5x_{3}=2
2x_{2}-5x_{3}=-1.
Essa é uma relação simples entre x_{2} e x_{3}. Podemos escrever
x_{2}=\frac{-1+5x_{3}}{2}.

Passo 4

Agora substituo x_{1}=-3-3x_{2}-2x_{3} na terceira equação. Isso dá:
2(-3-3x_{2}-2x_{3})-2x_{2}+(a^{2}-1)x_{3}=a+3.
Calculo o lado esquerdo passo a passo:
-6-6x_{2}-4x_{3}-2x_{2}+(a^{2}-1)x_{3}=a+3,
-6-8x_{2} + (a^{2}-5)x_{3}=a+3.
Isolando os termos com x_{2},x_{3}:
-8x_{2} + (a^{2}-5)x_{3}=a+3+6,
-8x_{2} + (a^{2}-5)x_{3}=a+9.
Agora substituo x_{2}=\dfrac{-1+5x_{3}}{2}:
-8\cdot\frac{-1+5x_{3}}{2} + (a^{2}-5)x_{3}=a+9.
Como -8\cdot\frac{1}{2}=-4, isso vira
-4(-1+5x_{3}) + (a^{2}-5)x_{3}=a+9.
Desenvolvendo:
4 -20x_{3} + (a^{2}-5)x_{3}=a+9,
4 + (a^{2}-25)x_{3}=a+9.
Isolando o termo com x_{3}:
(a^{2}-25)x_{3}=a+9-4,
(a^{2}-25)x_{3}=a+5.

Passo 5

A equação (a^{2}-25)x_{3}=a+5 é crucial. Vamos analisar os casos dependendo de a.
Caso 1: \;a^{2}-25\neq 0 (ou seja, a\neq 5 e a\neq -5).
Então podemos dividir por a^{2}-25 e obter
x_{3}=\frac{a+5}{a^{2}-25}.
Note que a^{2}-25=(a-5)(a+5), portanto quando a\neq\pm5 podemos simplificar:
x_{3}=\frac{a+5}{(a+5)(a-5)}=\frac{1}{a-5}.
Com esse x_{3} temos x_{2}=\dfrac{-1+5x_{3}}{2}, que fornece um x_{2} bem definido, e então x_{1}=-3-3x_{2}-2x_{3} também é definido. Logo para todo a com a\neq\pm5 existe solução única (x_{1},x_{2},x_{3}) do sistema — portanto \mathbf{y} pertence ao span nesses a.

Passo 6

Caso 2: \;a=5.
Então a^{2}-25=0 e o lado esquerdo da equação (a^{2}-25)x_{3} é 0. O lado direito é a+5=10. Assim a equação vira
0\cdot x_{3}=10,
o que é uma contradição. Portanto para a=5 o sistema não tem solução e \mathbf{y} não pertence ao span.

Passo 7

Caso 3: \;a=-5.
Aqui a^{2}-25=0 e a+5=0, então a equação vira
0\cdot x_{3}=0,
que é verdadeira para qualquer x_{3}. Usando a relação já obtida entre x_{2} e x_{3},
x_{2}=\frac{-1+5x_{3}}{2},
e x_{1}=-3-3x_{2}-2x_{3}, vemos que existem infinitas soluções (x_{1},x_{2},x_{3}). Logo para a=-5 o sistema é consistente e \mathbf{y} pertence ao span.

Resposta

a\in\mathbb{R}\setminus\{5\}

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