A pergunta que devemos responder é: determine o(s) valor(es) de a tais que o conjunto \{\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3}\} seja linearmente independente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\mathbf{u}_{1},\\ \mathbf{u}_{2},\\ \mathbf{u}_{3}\\ \text{(dados acima)},\qquad a\\ \text{é um parâmetro real}.éâ
Passo 2
O que significa, na prática, pedir que \{\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3}\} seja linearmente independente? Vou explicar com calma: o conjunto é linearmente independente se a única solução do sistema
for \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0. Para três vetores em \mathbb{R}^{3} uma forma prática de testar isso é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e verificar se ela é invertível. Uma matriz quadrada 3\times3 é invertível exatamente quando seu determinante é diferente de zero. Portanto, vamos montar a matriz cujas colunas são \mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3} e calcular seu determinante; a condição de independência será esse determinante ser diferente de zero.
Breve aula sobre determinante (sem jargões): o determinante de M, escrito \det(M), é um número que mede se as colunas (ou linhas) são “volumes” independentes; se \det(M)\neq 0 então as colunas são linearmente independentes. Algumas operações de linha são úteis para calcular determinantes: somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante. Vamos usar essa operação para simplificar M antes de calcular \det(M).]
Passo 4
Aplicamos a operação de linha L_{2}\leftarrow L_{2}+L_{1}. Isso não muda o determinante. Ao somar L_{1} em L_{2} obtemos a matriz:
Agora o cálculo do determinante fica mais direto, pois há um zero na primeira coluna.]
Passo 5
Vamos calcular \det(M') fazendo a expansão pela primeira coluna (coeficientes das entradas da primeira coluna multiplicados pelos menores correspondentes):
Lembrando que \det(M)=\det(M') (porque a operação que fizemos não mudou o determinante), a condição para dependência é \det(M)=0. Logo \det(M)=0 se, e somente se, a-5=0 ou a+5=0, i.e., a=5 ou a=-5. Portanto, o conjunto é linearmente independente exatamente quando \det(M)\neq 0, isto é, quando a\neq 5 e a\neq -5.
Passo 7
Conclusão final e um empurrãozinho: para qualquer valor de a diferente de \pm 5 a matriz é invertível e as três colunas (os três vetores) não estão em nenhum plano menor — daí serem linearmente independentes. Se a=5 ou a=-5 o determinante zera e os vetores ficam linearmente dependentes.