Considere os seguintes vetores de \mathbb{R}^{3} :
\mathbf{u}_{1}=\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -1 \\\\ 2 \end{array}\right], \quad \mathbf{u}_{2}=\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ -1 \\\\ -2 \end{array}\right], \quad \mathbf{u}_{3}=\left[\begin{array}{c} 2 \\\\ -7 \\\ a^{2}-1 \end{array}\right], \quad \mathbf{y}=\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 2 \\\ a+3 \end{array}\right] .
Determine o(s) valor(es) de a tal(is) que
o conjunto \left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}\right\} seja linearmente independente.

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores de \mathbb{R}^{3}:
\mathbf{u}_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix},\quad \mathbf{u}_{2}=\begin{pmatrix}3\\\ -1\\\ -2\end{pmatrix},\quad \mathbf{u}_{3}=\begin{pmatrix}2\\\ -7\a^{2}-1\end{pmatrix},\quad \mathbf{y}=\begin{pmatrix}-3\\\ 2\a+3\end{pmatrix}.
A pergunta que devemos responder é: determine o(s) valor(es) de a tais que o conjunto \{\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3}\} seja linearmente independente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\mathbf{u}_{1},\\ \mathbf{u}_{2},\\ \mathbf{u}_{3}\\ \text{(dados acima)},\qquad a\\ \text{é um parâmetro real}.éâ

Passo 2

O que significa, na prática, pedir que \{\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3}\} seja linearmente independente? Vou explicar com calma: o conjunto é linearmente independente se a única solução do sistema
\alpha_{1}\mathbf{u}_{1}+\alpha_{2}\mathbf{u}_{2}+\alpha_{3}\mathbf{u}_{3}=\mathbf{0}
for \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0. Para três vetores em \mathbb{R}^{3} uma forma prática de testar isso é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e verificar se ela é invertível. Uma matriz quadrada 3\times3 é invertível exatamente quando seu determinante é diferente de zero. Portanto, vamos montar a matriz cujas colunas são \mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3} e calcular seu determinante; a condição de independência será esse determinante ser diferente de zero.

Passo 3

Matriz com as colunas sendo os vetores:
M=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\[4pt] -1 & -1 & -7\\[4pt] 2 & -2 & a^{2}-1 \end{pmatrix}.
Breve aula sobre determinante (sem jargões): o determinante de M, escrito \det(M), é um número que mede se as colunas (ou linhas) são “volumes” independentes; se \det(M)\neq 0 então as colunas são linearmente independentes. Algumas operações de linha são úteis para calcular determinantes: somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante. Vamos usar essa operação para simplificar M antes de calcular \det(M).]

Passo 4

Aplicamos a operação de linha L_{2}\leftarrow L_{2}+L_{1}. Isso não muda o determinante. Ao somar L_{1} em L_{2} obtemos a matriz:
M'=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\[4pt] 0 & 2 & -5\\[4pt] 2 & -2 & a^{2}-1 \end{pmatrix}.
Agora o cálculo do determinante fica mais direto, pois há um zero na primeira coluna.]

Passo 5

Vamos calcular \det(M') fazendo a expansão pela primeira coluna (coeficientes das entradas da primeira coluna multiplicados pelos menores correspondentes):
\det(M') = 1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -5\\[4pt] -2 & a^{2}-1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots) +2\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt] 2 & -5\end{pmatrix}.
Detalhando cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}2 & -5\\[4pt] -2 & a^{2}-1\end{pmatrix} =2\cdot(a^{2}-1)-(-5)\cdot(-2).
Note que (-5)\cdot(-2)=10. Então
2\cdot(a^{2}-1)-10 = 2a^{2}-2-10 = 2a^{2}-12 = 2(a^{2}-6).
Agora o segundo 2\times2:
\det\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt] 2 & -5\end{pmatrix}=3\cdot(-5)-2\cdot2=-15-4=-19.
Substituindo na expansão:
\det(M') = 1\cdot 2(a^{2}-6) + 2\cdot(-19) = 2(a^{2}-6)-38.]

Passo 6

Continuando a simplificação:
\det(M') = 2a^{2}-12-38 = 2a^{2}-50 = 2(a^{2}-25).
Fatorando:
\det(M') = 2(a-5)(a+5).
Lembrando que \det(M)=\det(M') (porque a operação que fizemos não mudou o determinante), a condição para dependência é \det(M)=0. Logo \det(M)=0 se, e somente se, a-5=0 ou a+5=0, i.e., a=5 ou a=-5. Portanto, o conjunto é linearmente independente exatamente quando \det(M)\neq 0, isto é, quando a\neq 5 e a\neq -5.

Passo 7

Conclusão final e um empurrãozinho: para qualquer valor de a diferente de \pm 5 a matriz é invertível e as três colunas (os três vetores) não estão em nenhum plano menor — daí serem linearmente independentes. Se a=5 ou a=-5 o determinante zera e os vetores ficam linearmente dependentes.

Resposta

a\in\mathbb{R}\setminus\{-5,5\}

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