Sejam \mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \ldots, \mathbf{a}_{p} e \mathbf{b} vetores de \mathbb{R}^{n}, e considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{llll} \mathbf{a}_{1} & \mathbf{a}_{2} & \cdots & \mathbf{a}_{p} \end{array}\right] \quad(n \times p) \quad \text { e } \quad M=\left[\begin{array}{ll} A & \mathbf{b} \end{array}\right] \quad(n \times(p+1)) .
Em cada item, assinale a alternativa correta:
(a) O vetor \mathbf{b} pertence ao espaço gerado pelo conjunto \left\{\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \ldots, \mathbf{a}_{p}\right\} se, e somente se:
i. as formas escalonadas da matriz M não têm uma linha de zeros.
v. a última coluna da matriz M não é uma coluna-pivô.
ii. a matriz A tem uma posição-pivô em cada uma de suas colunas, e a última coluna da matriz M não é uma coluna-pivô.
iii. a matriz M tem uma posição-pivô em cada uma de suas colunas.
iv. a última coluna da matriz M é um múltiplo de alguma coluna da matriz A.
(b) O conjunto \left\{\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \ldots, \mathbf{a}_{p}\right\} é linearmente independente se, e somente se:
i. a matriz A não tem colunas que são múltiplas uma da outra.
ii. a matriz A tem uma posição-pivô em cada uma de suas colunas.
iii. a matriz A tem uma posição-pivô em cada uma de suas linhas.
iv. a matriz A não tem uma linha toda de zeros.
v. as formas escalonadas da matriz A não têm uma linha toda de zeros.
(c) Existe um vetor \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n} que não é uma combinação linear dos vetores \mathbf{a}_{1}, \ldots, \mathbf{a}_{p} se, e somente se:
i. a última coluna da matriz A é uma coluna-pivô.
ii. a matriz A tem uma posição-pivô em cada uma de suas colunas.
iii. a matriz A tem alguma coluna que não é coluna-pivô.
iv. a matriz A tem uma linha toda de zeros.
v. as formas escalonadas da matriz A têm uma linha toda de zeros.

Passo 1

O enunciado dá vetores \mathbf{a}_{1},\ldots,\mathbf{a}_{p},\mathbf{b}\in\mathbb{R}^{n} e as matrizes
A=\left[\begin{array}{llll}\mathbf{a}_{1} & \mathbf{a}_{2} & \cdots & \mathbf{a}_{p}\end{array}\right]\quad(n\times p)
M=\left[\begin{array}{ll}A & \mathbf{b}\end{array}\right]\quad(n\times(p+1)).
Pede-se, para cada item (a), (b) e (c), assinalar a alternativa correta entre as listadas.
Listagem do que cada item pergunta:
  • (a) Determinar qual dentre as alternativas i.–v. é equivalente a: \mathbf{b} pertence ao espaço gerado por \{\mathbf{a}_{1},\ldots,\mathbf{a}_{p}\}.
  • (b) Determinar qual dentre as alternativas i.–v. é equivalente a: \{\mathbf{a}_{1},\ldots,\mathbf{a}_{p}\} é linearmente independente.
  • (c) Determinar qual dentre as alternativas i.–v. é equivalente a: existe \mathbf{v}\in\mathbb{R}^{n} que não é combinação linear de \mathbf{a}_{1},\ldots,\mathbf{a}_{p}.
    Informações relevantes fornecidas: as definições de A e M acima; as alternativas i.–v. para cada caso. A resolução seguirá analisando cada afirmação e usando conceitos básicos de sistemas lineares, posto, forma escalonada e independência linear.

Passo 2

Primeira aula rápida (muito importante): o significado de “pertencer ao espaço gerado”.
  • Definição: \mathbf{b} pertence ao espaço gerado por \{\mathbf{a}_{1},\ldots,\mathbf{a}_{p}\} significa que existe um vetor \mathbf{x}\in\mathbb{R}^{p} tal que
A\mathbf{x}=\mathbf{b}.
Ou seja, \mathbf{b} é combinação linear das colunas de A.
  • Conceito ligado: o sistema linear A\mathbf{x}=\mathbf{b} é consistente (tem solução) se, e somente se, \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(M). Aqui \operatorname{rank}(\cdot) é o posto (número de pivôs) da matriz. Este é o teste padrão de consistência: se a adição da coluna \mathbf{b} aumenta o posto, então não há solução; senão há.

Passo 3

Segunda mini-aula: o que é forma escalonada e coluna-pivô.
  • Forma escalonada (resultado de eliminação por linhas) preserva o posto da matriz e deixa claras as posições-pivô (primeiro elemento não nulo de cada linha não-nula).
  • Coluna-pivô: uma coluna de A (ou de M) é chamada de coluna-pivô se nessa coluna aparece um pivô na forma escalonada. O número de colunas-pivô é o posto (em termos de colunas independentes).
  • Observação prática importante: ao montar o sistema aumentado [A\,|\,\mathbf{b}] e escalonar, se aparecer uma linha da forma
[0\\ \;0\\ \cdots\\\ 0\;|\; c]\quad\text{com }c\neq 0,
isso indica inconsistência. Nessa situação a última coluna (a coluna de \mathbf{b}) terá pivô numa linha onde as colunas de A são todas zero, isto é, a última coluna torna-se coluna-pivô nova de M (indicando aumento do posto).

Passo 4

Aplicando a teoria ao item (a): traduzindo a frase " \mathbf{b} pertence ao espaço gerado por \{\mathbf{a}_{1},\ldots,\mathbf{a}_{p}\} " em termos de M.
  • Pelo Passo 2, isso equivale a A\mathbf{x}=\mathbf{b} ter solução, ou seja
\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(M).
  • Em termos de pivôs e forma escalonada: a adição da coluna \mathbf{b} não deve criar um pivô novo. Em outras palavras, a última coluna de M não pode ser uma coluna-pivô adicional em relação às colunas de A. Portanto, a condição correta é: “a última coluna da matriz M não é uma coluna-pivô.”

Passo 5

Concluindo (a) e descartando as outras alternativas com exemplos/argumentos curtos e concretos:
  • Alternativa v: “a última coluna da matriz M não é uma coluna-pivô.” — esta é exatamente a condição \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(M). Correta.
  • Alternativa i: “as formas escalonadas da matriz M não têm uma linha de zeros.” — falsa; isso fala sobre linhas nulas em geral e não corresponde ao critério de consistência. Mesmo com linhas de zeros você pode ter \mathbf{b} no espaço gerado (ou não); não é equivalente.
  • Alternativa ii: “a matriz A tem uma posição-pivô em cada uma de suas colunas, e a última coluna de M não é uma coluna-pivô.” — primeira parte é muito forte e desnecessária para \mathbf{b} estar no span; A não precisa ter pivô em cada coluna (pode haver dependências entre colunas) para que \mathbf{b} seja combinação delas.
  • Alternativa iii: “a matriz M tem uma posição-pivô em cada uma de suas colunas.” — isto significaria que a última coluna é pivô (entre outras), o que indica aumento do posto e inconsistente; portanto é o oposto do que queremos.
  • Alternativa iv: “a última coluna da matriz M é um múltiplo de alguma coluna da matriz A.” — isto garante que \mathbf{b} é combinação (um caso muito particular), mas não é necessário: \mathbf{b} pode ser combinação linear de várias colunas, sem ser múltiplo de apenas uma. Logo iv é suficiente em alguns casos, mas não equivalente (não é if and only if).

Passo 6

Agora (b): entender o que significa conjunto de colunas ser linearmente independente.
  • Definição: \{\mathbf{a}_{1},\ldots,\mathbf{a}_{p}\} é linearmente independente se a única solução do sistema homogêneo
A\mathbf{x}=\mathbf{0}
é \mathbf{x}=\mathbf{0}. Em termos de pivôs, isso significa que cada coluna de A traz um grau de liberdade independente, ou seja, cada coluna deve conter um pivô na forma escalonada. Formalmente,
\text{colunas independentemente } \iff \operatorname{rank}(A)=p.
  • Em termos práticos: “ter uma posição-pivô em cada coluna” é a tradução direta de \operatorname{rank}(A)=p.

Passo 7

Analisando as alternativas do item (b):
  • Alternativa ii: “a matriz A tem uma posição-pivô em cada uma de suas colunas.” — exatamente a condição \operatorname{rank}(A)=p, portanto correta.
  • Alternativa i: “a matriz A não tem colunas que são múltiplos uma da outra.” — falso como critério equivalente: não ter colunas múltiplas evita um tipo simples de dependência, mas não impede dependências mais gerais envolvendo três ou mais colunas. Exemplo rápido: em \mathbb{R}^{2}, vetores (1,0),(0,1),(1,1) não têm nenhuma coluna que seja múltiplo de outra, mas são linearmente dependentes? Nesse exemplo eles são independentes; preciso de um exemplo melhor: em \mathbb{R}^{2}, (1,0),(1,1),(0,1) as três são dependentes mas nenhuma é múltiplo de outra. Então i não é equivalente.
  • Alternativa iii: “a matriz A tem uma posição-pivô em cada uma de suas linhas.” — isto significa \operatorname{rank}(A)=n (posto igual ao número de linhas), não é equivalente a independência das colunas (depende de p e n).
  • Alternativa iv e v: “A não tem uma linha toda de zeros” ou “as formas escalonadas da matriz A não têm uma linha toda de zeros” — ambas dizem algo sobre linhas nulas e posto em relação a n, não equivalem a ter pivô em cada coluna. Por exemplo, você pode não ter linha de zeros e ainda ter duas colunas dependentes se p>n. Portanto essas opções são incorretas.

Passo 8

Agora (c): entender a existência de um vetor \mathbf{v} que não é combinação linear das colunas de A.
  • Isso significa que as colunas de A não geram todo \mathbb{R}^{n}; em termos de posto,
\exists \mathbf{v}\notin\operatorname{span}\{\mathbf{a}_{1},\ldots,\mathbf{a}_{p}\} \iff \operatorname{span}(\text{colunas de }A)\neq\mathbb{R}^{n} \iff \operatorname{rank}(A)<n.
  • Em termos da forma escalonada, \operatorname{rank}(A)<n significa que a forma escalonada tem pelo menos uma linha toda de zeros. Portanto a presença de uma linha zero na forma escalonada é equivalente à existência de um vetor em \mathbb{R}^{n} fora do espaço gerado pelas colunas de A.

Passo 9

Analisando as alternativas do item (c):
  • Alternativa v: “as formas escalonadas da matriz A têm uma linha toda de zeros.” — isto é exatamente a condição \operatorname{rank}(A)<n. Logo é correta.
  • Alternativa iv: “a matriz A tem uma linha toda de zeros.” — isto é uma condição mais forte (a própria matriz já com linha zero), mas não necessária: a matriz pode não ter linhas zero inicialmente e ainda ter posto menor que n (as linhas podem ser dependentes e a forma escalonada revelar uma linha zero). Assim iv não é equivalente.
  • Alternativa iii: “a matriz A tem alguma coluna que não é coluna-pivô.” — isto significa \operatorname{rank}(A)<p, ou seja colunas dependentes; isso não garante que \operatorname{rank}(A)<n. Por exemplo, se p\ge n e \operatorname{rank}(A)=n então pode haver colunas não-pivô e ainda as colunas span( \mathbb{R}^{n}). Então iii não é equivalente.
  • Alternativa ii e i: já vistas antes, também não equivalem ao enunciado. Em particular ii diz que há pivô em cada coluna (posto =p), o que pode ainda deixar p<n e então existir vetor fora do span; portanto não é equivalente.

Passo 10

Recap final do raciocínio (pra você fixar e se animar):
  • Para testar se \mathbf{b} está no span, monte o aumentado [A\,|\,\mathbf{b}] e verifique se a última coluna vira um pivô novo após escalonamento. Se virar pivô novo => não está no span; se não virar pivô => está no span.
  • Para independência das colunas de A, é preciso pivô em cada coluna (posto igual a p).
  • Para existir vetor fora do span das colunas, o posto de A deve ser menor que n; isto aparece como linha toda de zeros na forma escalonada.

Resposta

(a) v
(b) ii
(c) v

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