Sejam
e
vetores de
, e considere as matrizes
Em cada item, assinale a alternativa correta:
(a) O vetor
pertence ao espaço gerado pelo conjunto
se, e somente se:
i. as formas escalonadas da matriz
não têm uma linha de zeros.
v. a última coluna da matriz
não é uma coluna-pivô.
ii. a matriz
tem uma posição-pivô em cada uma de suas colunas, e a última coluna da matriz
não é uma coluna-pivô.
iii. a matriz
tem uma posição-pivô em cada uma de suas colunas.
iv. a última coluna da matriz
é um múltiplo de alguma coluna da matriz
.
(b) O conjunto
é linearmente independente se, e somente se:
i. a matriz
não tem colunas que são múltiplas uma da outra.
ii. a matriz
tem uma posição-pivô em cada uma de suas colunas.
iii. a matriz
tem uma posição-pivô em cada uma de suas linhas.
iv. a matriz
não tem uma linha toda de zeros.
v. as formas escalonadas da matriz
não têm uma linha toda de zeros.
(c) Existe um vetor
que não é uma combinação linear dos vetores
se, e somente se:
i. a última coluna da matriz
é uma coluna-pivô.
ii. a matriz
tem uma posição-pivô em cada uma de suas colunas.
iii. a matriz
tem alguma coluna que não é coluna-pivô.
iv. a matriz
tem uma linha toda de zeros.
v. as formas escalonadas da matriz
têm uma linha toda de zeros.
(a) O vetor
i. as formas escalonadas da matriz
v. a última coluna da matriz
ii. a matriz
iii. a matriz
iv. a última coluna da matriz
(b) O conjunto
i. a matriz
ii. a matriz
iii. a matriz
iv. a matriz
v. as formas escalonadas da matriz
(c) Existe um vetor
i. a última coluna da matriz
ii. a matriz
iii. a matriz
iv. a matriz
v. as formas escalonadas da matriz
Passo 1
O enunciado dá vetores
e as matrizes
Pede-se, para cada item (a), (b) e (c), assinalar a alternativa correta entre as listadas.
Listagem do que cada item pergunta:
Listagem do que cada item pergunta:
- (a) Determinar qual dentre as alternativas i.–v. é equivalente a:
pertence ao espaço gerado por . - (b) Determinar qual dentre as alternativas i.–v. é equivalente a:
é linearmente independente. - (c) Determinar qual dentre as alternativas i.–v. é equivalente a: existe
que não é combinação linear de .
Informações relevantes fornecidas: as definições dee acima; as alternativas i.–v. para cada caso. A resolução seguirá analisando cada afirmação e usando conceitos básicos de sistemas lineares, posto, forma escalonada e independência linear.
Passo 2
Primeira aula rápida (muito importante): o significado de “pertencer ao espaço gerado”.
- Definição:
pertence ao espaço gerado por significa que existe um vetor tal que
Ou seja,
é combinação linear das colunas de
.
- Conceito ligado: o sistema linear
é consistente (tem solução) se, e somente se, . Aqui é o posto (número de pivôs) da matriz. Este é o teste padrão de consistência: se a adição da coluna aumenta o posto, então não há solução; senão há.
Passo 3
Segunda mini-aula: o que é forma escalonada e coluna-pivô.
- Forma escalonada (resultado de eliminação por linhas) preserva o posto da matriz e deixa claras as posições-pivô (primeiro elemento não nulo de cada linha não-nula).
- Coluna-pivô: uma coluna de
(ou de ) é chamada de coluna-pivô se nessa coluna aparece um pivô na forma escalonada. O número de colunas-pivô é o posto (em termos de colunas independentes). - Observação prática importante: ao montar o sistema aumentado
e escalonar, se aparecer uma linha da forma
isso indica inconsistência. Nessa situação a última coluna (a coluna de
) terá pivô numa linha onde as colunas de
são todas zero, isto é, a última coluna torna-se coluna-pivô nova de
(indicando aumento do posto).
Passo 4
Aplicando a teoria ao item (a): traduzindo a frase "
pertence ao espaço gerado por
" em termos de
.
- Pelo Passo 2, isso equivale a
ter solução, ou seja
- Em termos de pivôs e forma escalonada: a adição da coluna
não deve criar um pivô novo. Em outras palavras, a última coluna de não pode ser uma coluna-pivô adicional em relação às colunas de . Portanto, a condição correta é: “a última coluna da matriz não é uma coluna-pivô.”
Passo 5
Concluindo (a) e descartando as outras alternativas com exemplos/argumentos curtos e concretos:
- Alternativa v: “a última coluna da matriz
não é uma coluna-pivô.” — esta é exatamente a condição . Correta. - Alternativa i: “as formas escalonadas da matriz
não têm uma linha de zeros.” — falsa; isso fala sobre linhas nulas em geral e não corresponde ao critério de consistência. Mesmo com linhas de zeros você pode ter no espaço gerado (ou não); não é equivalente. - Alternativa ii: “a matriz
tem uma posição-pivô em cada uma de suas colunas, e a última coluna de não é uma coluna-pivô.” — primeira parte é muito forte e desnecessária para estar no span; não precisa ter pivô em cada coluna (pode haver dependências entre colunas) para que seja combinação delas. - Alternativa iii: “a matriz
tem uma posição-pivô em cada uma de suas colunas.” — isto significaria que a última coluna é pivô (entre outras), o que indica aumento do posto e inconsistente; portanto é o oposto do que queremos. - Alternativa iv: “a última coluna da matriz
é um múltiplo de alguma coluna da matriz .” — isto garante que é combinação (um caso muito particular), mas não é necessário: pode ser combinação linear de várias colunas, sem ser múltiplo de apenas uma. Logo iv é suficiente em alguns casos, mas não equivalente (não é if and only if).
Passo 6
Agora (b): entender o que significa conjunto de colunas ser linearmente independente.
- Definição:
é linearmente independente se a única solução do sistema homogêneo
é
. Em termos de pivôs, isso significa que cada coluna de
traz um grau de liberdade independente, ou seja, cada coluna deve conter um pivô na forma escalonada. Formalmente,
- Em termos práticos: “ter uma posição-pivô em cada coluna” é a tradução direta de
.
Passo 7
Analisando as alternativas do item (b):
- Alternativa ii: “a matriz
tem uma posição-pivô em cada uma de suas colunas.” — exatamente a condição , portanto correta. - Alternativa i: “a matriz
não tem colunas que são múltiplos uma da outra.” — falso como critério equivalente: não ter colunas múltiplas evita um tipo simples de dependência, mas não impede dependências mais gerais envolvendo três ou mais colunas. Exemplo rápido: em , vetores não têm nenhuma coluna que seja múltiplo de outra, mas são linearmente dependentes? Nesse exemplo eles são independentes; preciso de um exemplo melhor: em , as três são dependentes mas nenhuma é múltiplo de outra. Então i não é equivalente. - Alternativa iii: “a matriz
tem uma posição-pivô em cada uma de suas linhas.” — isto significa (posto igual ao número de linhas), não é equivalente a independência das colunas (depende de e ). - Alternativa iv e v: “A não tem uma linha toda de zeros” ou “as formas escalonadas da matriz
não têm uma linha toda de zeros” — ambas dizem algo sobre linhas nulas e posto em relação a , não equivalem a ter pivô em cada coluna. Por exemplo, você pode não ter linha de zeros e ainda ter duas colunas dependentes se . Portanto essas opções são incorretas.
Passo 8
Agora (c): entender a existência de um vetor
que não é combinação linear das colunas de
.
- Isso significa que as colunas de
não geram todo ; em termos de posto,
- Em termos da forma escalonada,
significa que a forma escalonada tem pelo menos uma linha toda de zeros. Portanto a presença de uma linha zero na forma escalonada é equivalente à existência de um vetor em fora do espaço gerado pelas colunas de .
Passo 9
Analisando as alternativas do item (c):
- Alternativa v: “as formas escalonadas da matriz
têm uma linha toda de zeros.” — isto é exatamente a condição . Logo é correta. - Alternativa iv: “a matriz
tem uma linha toda de zeros.” — isto é uma condição mais forte (a própria matriz já com linha zero), mas não necessária: a matriz pode não ter linhas zero inicialmente e ainda ter posto menor que (as linhas podem ser dependentes e a forma escalonada revelar uma linha zero). Assim iv não é equivalente. - Alternativa iii: “a matriz
tem alguma coluna que não é coluna-pivô.” — isto significa , ou seja colunas dependentes; isso não garante que . Por exemplo, se e então pode haver colunas não-pivô e ainda as colunas span( ). Então iii não é equivalente. - Alternativa ii e i: já vistas antes, também não equivalem ao enunciado. Em particular ii diz que há pivô em cada coluna (posto
), o que pode ainda deixar e então existir vetor fora do span; portanto não é equivalente.
Passo 10
Recap final do raciocínio (pra você fixar e se animar):
- Para testar se
está no span, monte o aumentado e verifique se a última coluna vira um pivô novo após escalonamento. Se virar pivô novo => não está no span; se não virar pivô => está no span. - Para independência das colunas de
, é preciso pivô em cada coluna (posto igual a ). - Para existir vetor fora do span das colunas, o posto de
deve ser menor que ; isto aparece como linha toda de zeros na forma escalonada.
Resposta
(a) v
(b) ii
(c) v
(b) ii
(c) v