Considere os seguintes vetores de \mathbb{R}^{3} :
\mathbf{u}_{1}=\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -1 \\\\ 2 \end{array}\right], \quad \mathbf{u}_{2}=\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ -1 \\\\ -2 \end{array}\right], \quad \mathbf{u}_{3}=\left[\begin{array}{c} 2 \\\\ -7 \\\ a^{2}-1 \end{array}\right], \quad \mathbf{y}=\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 2 \\\ a+3 \end{array}\right] .
Determine o(s) valor(es) de a tal(is) que
o conjunto \left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}, \mathbf{y}\right\} gere o espaço \mathbb{R}^{3}.
Em cada item, justifique sucintamente a sua resposta.
Dica: Quando for pertinente, aplique algum dos critérios relacionados na questão 1.

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores de \mathbb{R}^{3}:
\mathbf{u}_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix},\qquad \mathbf{u}_{2}=\begin{pmatrix}3\\\ -1\\\ -2\end{pmatrix},\qquad \mathbf{u}_{3}=\begin{pmatrix}2\\\ -7\a^{2}-1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{y}=\begin{pmatrix}-3\\\ 2\a+3\end{pmatrix}.
A pergunta é: determinar os valores de a tais que o conjunto \{\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3},\mathbf{y}\} gere o espaço \mathbb{R}^{3}.
Informações relevantes dadas:
  • Temos quatro vetores em \mathbb{R}^{3} dependentes do parâmetro a.
  • Para que esses vetores gerem \mathbb{R}^{3} é necessário e suficiente que a dimensão do espaço gerado por eles seja 3 (ou seja, que exista um subconjunto de três vetores linearmente independentes).

Passo 2

Estratégia (explicada de forma didática): em \mathbb{R}^{3} um conjunto de vetores gera todo o espaço se e somente se a matriz formada por três desses vetores como colunas tiver determinante não nulo (esses três seriam linearmente independentes e, portanto, uma base). Como temos quatro vetores, basta verificar se existe alguma combinação de três colunas cujo determinante seja diferente de zero. Primeiro verifico o determinante das três primeiras colunas \mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3}; se esse determinante for não nulo, já garanto que o conjunto gera \mathbb{R}^{3} (independente de \mathbf{y}). Se for zero para alguns a, preciso então verificar determinantes de trios que envolvam \mathbf{y}, por exemplo (\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{y}), (\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{3},\mathbf{y}) e (\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3},\mathbf{y}).
Vou calcular esses determinantes explicitamente (passo a passo, sem pular etapas).

Passo 3

Calcular \det(\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3}). A matriz cujas colunas são \mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3} é
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\[4pt] -1 & -1 & -7\\[4pt] 2 & -2 & a^{2}-1 \end{pmatrix}.
Usando a regra de Laplace pela primeira linha:
\det(A)= 1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & -7\\\\ -2 & a^{2}-1\end{pmatrix} -3\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & -7\\\\ 2 & a^{2}-1\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & -1\\\\ 2 & -2\end{pmatrix}.
Calculo cada menor:
\det\begin{pmatrix}-1 & -7\\\\ -2 & a^{2}-1\end{pmatrix}=(-1)(a^{2}-1)-(-7)(-2)=-a^{2}+1-14=-a^{2}-13,
\det\begin{pmatrix}-1 & -7\\\\ 2 & a^{2}-1\end{pmatrix}=(-1)(a^{2}-1)-(-7)\cdot 2=-a^{2}+1+14=-a^{2}+15,
\det\begin{pmatrix}-1 & -1\\\\ 2 & -2\end{pmatrix}=(-1)(-2)-(-1)\cdot 2=2+2=4.
Agora substituo:
\det(A)=1\cdot(-a^{2}-13)-3\cdot(-a^{2}+15)+2\cdot 4 = -a^{2}-13+3a^{2}-45+8.
Portanto
\det(\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3})=2a^{2}-50=2(a^{2}-25)=2(a-5)(a+5).]

Passo 4

Interpretação do passo anterior: se \det(\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3})\neq 0, então \mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3} são linearmente independentes e já geram \mathbb{R}^{3}. Da expressão obtida, isso ocorre quando
a^{2}-25\neq 0\quad\Longleftrightarrow\quad a\neq 5\\ \text{e}\\ a\neq -5.
Logo, para todo a com a\neq \pm 5 o conjunto dado gera \mathbb{R}^{3}. Ainda restam os casos a=5 e a=-5, que fazem o determinante acima igual a zero; nesses casos tenho que verificar se \mathbf{y} com alguma das \mathbf{u}_i forma um trio independente.

Passo 5

Calcular \det(\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{y}). A matriz é
B=\begin{pmatrix} 1 & 3 & -3\\[4pt] -1 & -1 & 2\\[4pt] 2 & -2 & a+3 \end{pmatrix}.
Usando expansão pela primeira linha:
\det(B)= 1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\\\ -2 & a+3\end{pmatrix} -3\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\\\ 2 & a+3\end{pmatrix} +(-3)\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & -1\\\\ 2 & -2\end{pmatrix}.
Calculo os menores:
\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\\\ -2 & a+3\end{pmatrix}=(-1)(a+3)-2(-2)=-a-3+4=-a+1,
\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\\\ 2 & a+3\end{pmatrix}=(-1)(a+3)-2\cdot 2=-a-3-4=-a-7,
\det\begin{pmatrix}-1 & -1\\\\ 2 & -2\end{pmatrix}=4\quad(\text{já calculado antes}).á
Substituindo:
\det(\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{y})=( -a+1 ) -3( -a-7 ) -3\cdot 4 = -a+1+3a+21-12=2a+10=2(a+5).
Portanto
\det(\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{y})=2(a+5).]

Passo 6

Verifico o caso a=5: então \det(\mathbf{u}_{1},\mathbf{2},\mathbf{u}_{3})=0 (vimos antes) mas
\det(\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{y})=2(5+5)=20\neq 0,
logo para a=5 o trio \{\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{y}\} é linearmente independente e gera \mathbb{R}^{3}. Assim a=5 é permitido.

Passo 7

Verifico o caso a=-5. Já vi que
\det(\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3})=2((-5)^{2}-25)=0,
e
\det(\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{y})=2(-5+5)=0.
Para ter certeza de que não existe nenhum trio independente preciso checar os outros dois determinantes que envolvem \mathbf{y}.
Calculei (mostro as expressões resultantes):
\det(\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{3},\mathbf{y})=a^{2}-5a-50=(a-10)(a+5),
\det(\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3},\mathbf{y})=-(a+5)(3a+4).
(As contas para chegar a essas factorações seguem o mesmo processo detalhado mostrado nos passos anteriores e podem ser repetidas se quiser; aqui apresento as expressões já simplificadas.)
Substituindo a=-5 em ambas:
\det(\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{3},\mathbf{y})=( -5-10)(-5+5)=\cdots=0,
\det(\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3},\mathbf{y})= -(-5+5)(3(-5)+4)=0.
Portanto, para a=-5 todos os determinantes de trios possíveis são 0. Isso implica que a matriz de quatro colunas tem posto no máximo 2, ou seja, os vetores não conseguem gerar \mathbb{R}^{3} quando a=-5.

Passo 8

Conclusão final com justificativa sucinta:
  • Se a\neq \pm 5, então \det(\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3})=2(a^{2}-25)\neq 0, logo \mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3} são três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{3} e já geram todo o espaço; portanto o conjunto dado gera \mathbb{R}^{3}.
  • Se a=5, embora \det(\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3})=0, encontramos \det(\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{y})=20\neq 0, então existe um trio independente e o conjunto também gera \mathbb{R}^{3}.
  • Se a=-5, todos os determinantes de trios são zero, o posto é \le 2 e o conjunto não gera \mathbb{R}^{3}.
Força aí — o único valor de a que falha é a=-5.

Resposta

Todos os a\in\mathbb{R} tais que a\neq -5.

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