Considere os seguintes vetores em R^3.
V1=(1,-1,1) V2=(4,-2,0) V3=(0,-1,2)
(b) Caso sejam LD, expresse um deles como combinação linear dos demais.

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^3:
V1=(1,-1,1), V2=(4,-2,0), V3=(0,-1,2)
e pede, no caso de dependência linear (LD), expressar um deles como combinação linear dos demais. O conteúdo aqui é teste de dependência linear em R^3 e resolução de um sistema para achar coeficientes.

Passo 2

Em R^3, três vetores são LD se e somente se o determinante da matriz que os tem como colunas é zero. Vamos formar
M= 1 & 4 & 0 -1 & -2 & -1 1 & 0 & 2
e calcular det(M).

Passo 3

Calculando o determinante por expansão na primeira linha:
det(M) =1cdotl((-2)cdot2 - 0cdot(-1)r) -4cdotl((-1)cdot2 - 1cdot(-1)r) +0cdotcdots =-4 -4(-1) =0
Como det(M)=0, os vetores são LD.

Passo 4

Para achar a combinação, escolhemos expressar
V1=a,V2+b,V3
Isso significa
a(4,-2,0)+b(0,-1,2)=(1,-1,1),
o que gera o sistema
4a=1, -2a - b = -1, 2b=1
Daí tiramos a=tfrac14 e b=tfrac12, e checamos que a segunda equação fica -2cdottfrac14 - tfrac12 = -tfrac12 - tfrac12 = -1, ok.

Resposta

V1 = 14,V2 ;+;12,V3

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