Determine k para que o triângulo de vértices A(1,2,3), B(0,-1,-1) e C(k, 1,1) seja retângulo em A.

Passo 1

O enunciado pede o valor de k tal que o triângulo de vértices A(1,2,3), B(0,-1,-1) e C(k,1,1) seja retângulo em A. Para que o ângulo em A seja reto, basta que os vetores AB e AC sejam perpendiculares, ou seja, seu produto escalar seja zero.

Passo 2

Calculamos os vetores AB e AC:
AB = B - A = (0-1,;-1-2,;-1-3) = (-1,,-3,,-4),
AC = C - A = (k-1,;1-2,;1-3) = (k-1,,-1,,-2)

Passo 3

Impondo ABcdotAC=0, temos
(-1)(k-1) + (-3)(-1) + (-4)(-2) = 0 Longrightarrow -(k-1) + 3 + 8 = 0 Longrightarrow 12 - k = 0 Longrightarrow k = 12

Resposta

k = 12

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