Considere o Subespaço vetorial W=span(0,1,2,1),(1,2,0,0),(-1,0,1,0),(-1,1,6,3).
Verifique que B=(0,1,2,1),(1,2,0,0),(-1,0,1,0) é uma base para W.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = spanv1,v2,v3,v4
com
v1=(0,1,2,1), v2=(1,2,0,0), v3=(-1,0,1,0), v4=(-1,1,6,3),
e propõe a família
B=v1,v2,v3
Para mostrar que B é base de W, precisamos verificar dois pontos:
  1. span(B)=W (ou seja, B gera W).
  2. B é linearmente independente.

Passo 2

Mostramos que
Isto é,
o que gera o sistema
Da última equação vem , logo . Então de tiramos .

Passo 3

Como v4 = 3v1 -1,v2 +0,v3, temos v4inspan(B). Assim
W = spanv1,v2,v3,v4 = span(Bcupv4) = span(B)
Logo B gera todo W.

Passo 4

Verificamos que
Isso dá o sistema
Da quarta equação vem e . Só a solução trivial existe, logo é independente.

Resposta

Os vetores de B geram W e são linearmente independentes. Portanto,
B=(0,1,2,1),,(1,2,0,0),,(-1,0,1,0)
é uma base de W.

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