Considere os seguintes vetores V1=(-1,-1,0,2), V2=(-2,-4,2,6) e V3=(1,3,-2,-4).
Os vetores V1, V2 e V3 são LD ou LI? Caso sejam LD escreva um deles como combinação linear dos outros.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores em R^4
V1=(-1,-1,0,2), V2=(-2,-4,2,6), V3=(1,3,-2,-4)
e pede para determinar se são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear nula e verificar se existe solução não trivial de
a,V1 + b,V2 + c,V3 = (0,0,0,0)

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada, a equação
a,V1 + b,V2 + c,V3 = (0,0,0,0)
gera o sistema
-a - 2b + c = 0
-a - 4b + 3c = 0
2b - 2c = 0
2a + 6b - 4c = 0

Passo 3

Da terceira equação
2b - 2c = 0
segue-se imediatamente que
b = c

Passo 4

Substituindo b = c nas outras equações:
na primeira obtemos
-a - 2c + c = -a - c = 0 Longrightarrow a = -c,
e verifica-se que a segunda e a quarta ficam automaticamente satisfeitas por essas relações.

Passo 5

Como c pode ser escolhido livremente (por exemplo cneq0), existe solução não trivial (a,b,c)=(-c,c,c). Logo os vetores são linearmente dependentes.

Passo 6

Escolhendo c=1, temos a=-1 e b=1, o que dá
-1cdot V1 + 1cdot V2 + 1cdot V3 = 0
ou equivalentemente
V1 = V2 + V3

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes e
V1 = V2 + V3

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