Considere o Subespaço vetorial W=span(0,1,2,1),(1,2,0,0),(-1,0,1,0),(-1,1,6,3).
Determine uma base de W que contenha o vetor (-1,1,6,3).

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = spanv1,v2,v3,v4,
onde
v1=(0,1,2,1), v2=(1,2,0,0), v3=(-1,0,1,0), v4=(-1,1,6,3)
Queremos encontrar uma base de W que contenha o vetor v4. Para isso precisamos (i) determinar a dimensão de W e (ii) selecionar vetores independentes que gerem W, incluindo v4.

Passo 2

Mostramos primeiro que
Isso dá o sistema de coordenadas:
Da última equação vem obtemos , e em vem . Logo
portanto é combinação linear de .

Passo 3

Como v4 depende de v1,v2, o conjunto v1,v2,v3,v4 tem dimensão no máximo 3. Verifica-se que v1,v2,v3 é linearmente independente (basta resolver
alpha v1+beta v2+gamma v3=0 e obter só solução trivial). Logo dim W=3.

Passo 4

Para ter uma base de W com v4, precisamos de mais dois vetores em W que, junto com v4, sejam independentes. Como v4 já está em spanv1,v2, não podemos tomar ambos v1 e v2. Escolhemos, por exemplo,
v4,v3,v2.
Para ver que são independentes, suponha
alpha v4+beta v3+gamma v2=0. Pelo primeiro e segundo componentes chega-se a alpha=beta=gamma=0, logo é conjunto independente e, tendo três vetores, forma uma base de W.

Resposta

l(-1,1,6,3),;(-1,0,1,0),;(1,2,0,0)r
é uma base de W que contém o vetor (-1,1,6,3).

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