Considere o Subespaço vetorial .
Determine uma base de que contenha o vetor .
Passo 1
O enunciado define o subespaço
onde
Queremos encontrar uma base de que contenha o vetor . Para isso precisamos (i) determinar a dimensão de e (ii) selecionar vetores independentes que gerem , incluindo .
Passo 2
Mostramos primeiro que
Isso dá o sistema de coordenadas:
Da última equação vem obtemos , e em vem . Logo
portanto é combinação linear de .
Passo 3
Como v4 depende de v1,v2, o conjunto v1,v2,v3,v4 tem dimensão no máximo 3. Verifica-se que v1,v2,v3 é linearmente independente (basta resolver alpha v1+beta v2+gamma v3=0 e obter só solução trivial). Logo dim W=3.
Passo 4
Para ter uma base de W com v4, precisamos de mais dois vetores em W que, junto com v4, sejam independentes. Como v4 já está em spanv1,v2, não podemos tomar ambos v1 e v2. Escolhemos, por exemplo, v4,v3,v2.
Para ver que são independentes, suponha alpha v4+beta v3+gamma v2=0. Pelo primeiro e segundo componentes chega-se a alpha=beta=gamma=0, logo é conjunto independente e, tendo três vetores, forma uma base de W.