Considere o Subespaço vetorial W=span(0,1,2,1),(1,2,0,0),(-1,0,1,0),(-1,1,6,3).
Verifique que v=(3,3,0,1) é um vetor do subespaço W e determine (v)B, isto é, as coordenadas de v na base B.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = spanu1,u2,u3,u4
com
u1=(0,1,2,1), u2=(1,2,0,0), u3=(-1,0,1,0), u4=(-1,1,6,3)
e pede para verificar que
v=(3,3,0,1)in W
e determinar (v)B, as coordenadas de v em alguma base B de W. Vamos primeiro extrair uma base de W a partir desse gerador.

Passo 2

Para achar uma base de W, investigamos se há dependência linear entre u1,u2,u3,u4. Observamos que
3,u1 - 1,u2 =3(0,1,2,1) - (1,2,0,0) =(-1,1,6,3) = u4
Logo u4 é combinação linear de u1 e u2, e podemos descartá-lo sem perder o span. Tomamos então
B = ,u1,u2,u3
como candidato a base de W.

Passo 3

Verificamos que u1,u2,u3 são linearmente independentes computando um menor não nulo, por exemplo o determinante do submatriz formada pelas três primeiras colunas:
det 0 & 1 & 2 1 & 2 & 0 -1 & 0 & 1 =3neq0
Portanto dim W=3 e B é, de fato, uma base de W.

Passo 4

Agora expressamos
Escrevendo coordenada a coordenada:
Da última equação obtém-se vem logo . Na primeira equação fica , ou seja . Assim

Resposta

vin W e, nas coordenadas da base B=u1,u2,u3,
(v)B = (1,;1,;-2)

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