Uma máquina enche latas de detergente cujos volumes se comportam de acordo com o modelo Normal. Considere que uma amostra de 13 latas são observadas, as quais apresentam um volume médio de 4973 ml e uma variância s^2 igual a 1300.2 . Determine um intervalo com 90 % de confiança para o verdadeiro volume médio das latas de detergente (em ml). Utilize 2 casas decimais.
Qual é o limite inferior do intervalo de confiança? square

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma máquina que enche latas de detergente, e os volumes delas seguem uma distribuição Normal. A gente tem uma amostra de 13 latas com média de 4973 ml e variância de 1300,2. A missão aqui é encontrar um intervalo de confiança de 90% para o verdadeiro volume médio das latas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de estatística, especificamente sobre estimativas de intervalo para a média quando a variância é desconhecida e o tamanho da amostra é pequeno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando a variância da população é desconhecida e a amostra é pequena (n < 30), usamos a distribuição t de Student para construir o intervalo de confiança. A fórmula para o intervalo de confiança é:
barx pm talpha/2, , df times ( sraizn )
Onde:
  • barx é a média amostral,
  • talpha/2, , df é o valor crítico da t de Student para o nível de confiança desejado e graus de liberdade df = n - 1,
  • s é o desvio padrão amostral,
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Média amostral, barx = 4973 ml,
  • Variância amostral, s^2 = 1300,2, então o desvio padrão amostral s = raiz1300,2 approx 36,06 ml,
  • Tamanho da amostra, n = 13,
  • Graus de liberdade, df = 13 - 1 = 12.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor crítico talpha/2, , 12 para um intervalo de confiança de 90%. O nível de confiança de 90% corresponde a alpha = 0,10, então alpha/2 = 0,05. Consultando uma tabela t de Student ou usando uma calculadora estatística, encontramos que t0,05, , 12 approx 1,782.

Passo 5

Com todos os valores em mãos, vamos calcular o erro padrão da média:
sraizn = 36,06raiz13 approx 36,063,606 approx 10

Passo 6

Agora, calculamos o intervalo de confiança:
4973 pm 1,782 times 10
Isso resulta em:
4973 pm 17,82

Passo 7

Portanto, o intervalo de confiança de 90% para o verdadeiro volume médio das latas é aproximadamente de 4955,18 ml a 4989,82 ml.

Resposta

O limite inferior do intervalo de confiança é 4955,18 ml.

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