Uma máquina enche latas de detergente cujos volumes se comportam de acordo com o modelo Normal. Considere que uma amostra de 13 latas são observadas, as quais apresentam um volume médio de 4973 ml e uma variância
igual a 1300.2 . Determine um intervalo com
de confiança para o verdadeiro volume médio das latas de detergente (em ml). Utilize 2 casas decimais.
Qual é o limite inferior do intervalo de confiança?
Qual é o limite inferior do intervalo de confiança?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma máquina que enche latas de detergente, e os volumes delas seguem uma distribuição Normal. A gente tem uma amostra de 13 latas com média de 4973 ml e variância de 1300,2. A missão aqui é encontrar um intervalo de confiança de 90% para o verdadeiro volume médio das latas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de estatística, especificamente sobre estimativas de intervalo para a média quando a variância é desconhecida e o tamanho da amostra é pequeno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando a variância da população é desconhecida e a amostra é pequena (n < 30), usamos a distribuição t de Student para construir o intervalo de confiança. A fórmula para o intervalo de confiança é:
Onde:
-
é a média amostral, -
é o valor crítico da t de Student para o nível de confiança desejado e graus de liberdade , -
é o desvio padrão amostral, -
é o tamanho da amostra.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
- Média amostral,
ml, - Variância amostral,
, então o desvio padrão amostral ml, - Tamanho da amostra,
, - Graus de liberdade,
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor crítico
para um intervalo de confiança de 90%. O nível de confiança de 90% corresponde a
, então
. Consultando uma tabela t de Student ou usando uma calculadora estatística, encontramos que
.
Passo 5
Com todos os valores em mãos, vamos calcular o erro padrão da média:
Passo 6
Agora, calculamos o intervalo de confiança:
Isso resulta em:
Passo 7
Portanto, o intervalo de confiança de 90% para o verdadeiro volume médio das latas é aproximadamente de 4955,18 ml a 4989,82 ml.
Resposta
O limite inferior do intervalo de confiança é 4955,18 ml.