Considere
. Sejam
e
definida por
Se
é o operador derivação, determine
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos:
- Espaço V: É o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais, denotado por
. - Função
: É uma função linear que pega um polinômio e retorna a integral de de até :
- Operador D: É o operador de derivação, ou seja, ele pega um polinômio
e retorna sua derivada .
O que queremos encontrar é
, que é o operador adjunto de
aplicado à função
. Para isso, vamos precisar entender como funciona o operador adjunto e aplicar algumas propriedades de integrais e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o operador adjunto. Se temos dois espaços vetoriais e um operador linear entre eles, o operador adjunto
satisfaz que para todo
e todo
:
No nosso caso,
e
é o dual de
, que são as funções lineares que pegam polinômios e retornam números reais.
Passo 3
Sabendo disso, queremos encontrar
. Vamos aplicar a definição do operador adjunto. Queremos que para todo
:
Do lado esquerdo, temos
. Isso significa aplicar a função
ao operador
, ou seja:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral. A integral da derivada de
de
até
é simplesmente a diferença dos valores de
em
e
:
Então, temos:
Passo 5
Voltando à definição do operador adjunto:
Substituindo o que encontramos:
Isso significa que
é uma função linear que, quando aplicada a
, retorna
.
Passo 6
Para expressar
de forma explícita, vamos pensar em como uma função linear no dual
atua. Sabemos que
deve pegar um polinômio
e retornar
. Isso pode ser escrito como:
Então,
é a função que avalia
em
e subtrai a avaliação em
.
Resposta
O operador adjunto
é a função linear definida por