Considere V=P(R). Sejam a, b in R e f in V^* definida por
f(p)=integrala^b p(x) d x
Se D in L(V, V) é o operador derivação, determine D^* f.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos:
  • Espaço V: É o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais, denotado por V = P(R) .
  • Função f : É uma função linear que pega um polinômio p e retorna a integral de p(x) de a até b :
f(p) = integrala^b p(x) , dx
  • Operador D: É o operador de derivação, ou seja, ele pega um polinômio p e retorna sua derivada p' .
O que queremos encontrar é D^* f , que é o operador adjunto de D aplicado à função f . Para isso, vamos precisar entender como funciona o operador adjunto e aplicar algumas propriedades de integrais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o operador adjunto. Se temos dois espaços vetoriais e um operador linear entre eles, o operador adjunto D^* satisfaz que para todo p in V e todo phi in V^* :
(Dp, phi) = (p, D^*phi)
No nosso caso, V = P(R) e V^* é o dual de V , que são as funções lineares que pegam polinômios e retornam números reais.

Passo 3

Sabendo disso, queremos encontrar D^* f . Vamos aplicar a definição do operador adjunto. Queremos que para todo p in V :
(Dp, f) = (p, D^*f)
Do lado esquerdo, temos (Dp, f) . Isso significa aplicar a função f ao operador Dp , ou seja:
f(Dp) = integrala^b p'(x) , dx

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral. A integral da derivada de p de a até b é simplesmente a diferença dos valores de p em b e a :
integrala^b p'(x) , dx = p(b) - p(a)
Então, temos:
f(Dp) = p(b) - p(a)

Passo 5

Voltando à definição do operador adjunto:
(Dp, f) = (p, D^*f)
Substituindo o que encontramos:
p(b) - p(a) = (p, D^*f)
Isso significa que D^*f é uma função linear que, quando aplicada a p , retorna p(b) - p(a) .

Passo 6

Para expressar D^*f de forma explícita, vamos pensar em como uma função linear no dual V^* atua. Sabemos que D^*f deve pegar um polinômio p e retornar p(b) - p(a) . Isso pode ser escrito como:
D^*f(p) = p(b) - p(a)
Então, D^*f é a função que avalia p em b e subtrai a avaliação em a .

Resposta

O operador adjunto D^*f é a função linear definida por
D^*f(p) = p(b) - p(a)

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