Seja
definida por
. Determine
, quando
é dado por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve transformações lineares e seus adiuntos. A gente tem uma função
que pega um vetor de
e dá um número real, definida por
. Também temos uma transformação linear
que vai de
para
e é dada por
. Nosso objetivo é encontrar o aditivo de
, chamado
, que será uma função de
para
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o aditivo de uma transformação linear. Se
é uma transformação linear entre espaços vetoriais, o aditivo
vai de
para
. Aqui,
é o espaço dual de
, ou seja, o conjunto de todas as funções lineares que vão de
para
.
Passo 3
No nosso caso,
vai de
para
, então
vai de
para
. A função
está em
, e queremos encontrar
, que será uma função de
para
.
Passo 4
A definição de
é tal que para qualquer vetor
, temos:
Isso significa que para qualquer
, vamos aplicar
primeiro e depois aplicar
no resultado.
Passo 5
Vamos calcular
:
Isso nos dá um vetor em
:
.
Passo 6
Agora, aplicamos
nesse resultado:
Vamos expandir essa expressão para simplificar.
Passo 7
Fazendo as contas:
Então,
.
Resposta
Portanto,
.