Seja phi in(R^2)^* definida por phi(x, y)=3 x-2 y. Determine T^*(phi)(x, y, z), quando T in L(R^3, R^2) é dado por
T(x, y, z)=(x+y, 2 x-y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve transformações lineares e seus adiuntos. A gente tem uma função phi que pega um vetor de R^2 e dá um número real, definida por phi(x, y) = 3x - 2y. Também temos uma transformação linear T que vai de R^3 para R^2 e é dada por T(x, y, z) = (x + y, 2x - y). Nosso objetivo é encontrar o aditivo de T, chamado T^*(phi), que será uma função de R^3 para R.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o aditivo de uma transformação linear. Se T: V to W é uma transformação linear entre espaços vetoriais, o aditivo T^* vai de W^* para V^*. Aqui, W^* é o espaço dual de W, ou seja, o conjunto de todas as funções lineares que vão de W para R.

Passo 3

No nosso caso, T vai de R^3 para R^2, então T^* vai de (R^2)^* para (R^3)^*. A função phi está em (R^2)^*, e queremos encontrar T^*(phi), que será uma função de R^3 para R.

Passo 4

A definição de T^*(phi) é tal que para qualquer vetor v in R^3, temos:
T^*(phi)(v) = phi(T(v))
Isso significa que para qualquer (x, y, z) in R^3, vamos aplicar T primeiro e depois aplicar phi no resultado.

Passo 5

Vamos calcular T(x, y, z):
T(x, y, z) = (x + y, 2x - y)
Isso nos dá um vetor em R^2: (x + y, 2x - y).

Passo 6

Agora, aplicamos phi nesse resultado:
phi(x + y, 2x - y) = 3(x + y) - 2(2x - y)
Vamos expandir essa expressão para simplificar.

Passo 7

Fazendo as contas:
3(x + y) - 2(2x - y) = 3x + 3y - 4x + 2y = (-x) + 5y
Então, T^*(phi)(x, y, z) = -x + 5y.

Resposta

Portanto, T^*(phi)(x, y, z) = -x + 5y.

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