Seja
definida por
. Determine
, quando
é dado por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear
que vai de
para
, definida por
. Também temos uma função linear
que pertence ao espaço dual de
, ou seja,
. A nossa missão é encontrar
, onde
é o operador adjunto de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um operador adjunto e como aplicá-lo. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o operador adjunto
. Se
é uma transformação linear entre espaços vetoriais, então o adjunto
mapeia funções lineares de
para funções lineares de
. A definição é tal que para toda
e
, temos:
Isso significa que para encontrar
, a gente vai aplicar
no resultado de
.
Passo 3
No nosso caso,
,
, e
. Então, para um vetor
, temos:
Aplicando
nesse resultado:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Então,
.