Seja phi in(R^2)^* definida por phi(x, y)=3 x-2 y. Determine T^*(phi)(x, y, z), quando T in L(R^3, R^2) é dado por
T(x, y, z)=(x+y, y+z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear T que vai de R^3 para R^2 , definida por T(x, y, z) = (x + y, y + z) . Também temos uma função linear phi que pertence ao espaço dual de R^2 , ou seja, phi(x, y) = 3x - 2y . A nossa missão é encontrar T^*(phi)(x, y, z) , onde T^* é o operador adjunto de T . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um operador adjunto e como aplicá-lo. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o operador adjunto T^* . Se T: V W é uma transformação linear entre espaços vetoriais, então o adjunto T^*: W^* V^* mapeia funções lineares de W para funções lineares de V . A definição é tal que para toda phi in W^* e v in V , temos:
(T^*(phi))(v) = phi(T(v))
Isso significa que para encontrar T^*(phi) , a gente vai aplicar phi no resultado de T(v) .

Passo 3

No nosso caso, V = R^3 , W = R^2 , e phi(x, y) = 3x - 2y . Então, para um vetor (x, y, z) in R^3 , temos:
T(x, y, z) = (x + y, y + z)
Aplicando phi nesse resultado:
phi(T(x, y, z)) = phi(x + y, y + z) = 3(x + y) - 2(y + z)

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão:
3(x + y) - 2(y + z) = 3x + 3y - 2y - 2z = 3x + y - 2z
Então, T^*(phi)(x, y, z) = 3x + y - 2z .

Resposta

T^*(phi)(x, y, z) = 3x + y - 2z

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