Considere a semicircunferência de equação . Nela temos os pontos e que determinam o diâmetro do semicírculo delimitado pela curva já citada. Dado um ponto P(x, y) nessa semicircunferência, se theta é o ângulo P A B, determine a área do triângulo retângulo P A B em função de theta.
Passo 1
O enunciado trata de um semicírculo de raio 4 com diâmetro AB, onde A(-4,0) e B(4,0). Dado um ponto P no semicírculo, queremos a área do triângulo retângulo PAB em função de theta = ang<= P!A B. Vamos usar a parametrização da circunferência e o teorema do ângulo inscrito para relacionar essa parametrização a theta.
Passo 2
Parametrizamos P por um ângulo central phi medido em relação ao eixo x. Assim,
P = l(4cosphi,;4sinphir),
com phiin[0,pi], garantindo y>=0.
Passo 3
Pelo teorema do ângulo inscrito, o ângulo ang<= P!A B intercepta o arco PB cujo ângulo central é phi. Logo,
theta = tfrac12,phi Longrightarrow phi = 2theta
Passo 4
Com phi=2theta, as coordenadas de P tornam-se
P = l(4cos(2theta),;4sin(2theta)r)
No triângulo PAB, o lado AB vale 8 e a altura relativa a AB é o y-de P, isto é, 4sin(2theta).
Passo 5
A área do triângulo retângulo PAB é
Area = 12 times (base=8)times (a<ura=4sin(2theta)) =16,sin(2theta)