Usando a definição de limite a função logarítmica, calcules os exemplos abaixo:
lim x +infty log 12 x

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto+inftylog12x
ou seja, o comportamento da função logarítmica de base a=tfrac12 quando x cresce sem limite. Vamos usar a definição de limite infinito e a mudança de base para resolver.

Passo 2

Para dizer que
limxto+inftylog12x = -infty
significa que, para todo número real M<0, existe X0>0 tal que, sempre que x>X0, vale
log12x < M

Passo 3

Começamos usando a mudança de base para passar ao logaritmo natural:
log12x = ln(x)lnl(tfrac12r)
Como ln(tfrac12)<0, a desigualdade
log12x < M
é equivalente a
ln(x)ln(tfrac12) < M Long<=ftrightarrow ln(x) > M,lnl(tfrac12r) Long<=ftrightarrow x > e^,Mln(tfrac12) = l(tfrac12r)^M
Logo, dado qualquer M<0, basta escolher
X0 = l(tfrac12r)^M
para garantir que, se x>X0, então log12x < M. Isso mostra que o limite é -infty.

Resposta

limxto+inftylog12x = -infty

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