Considere V=P3(R) elang<= p(x), q(x)rang<==integral0^1 p(x) q(x) d x. Sendo p(x)=x^3-x-1 e q(x)=x^2+1, calcule lang<= p(x), q(x)rang<=, |p(x)|, |q(x)| e |p(x)+q(x)|.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está no campo da Álgebra Linear, mais especificamente envolvendo produtos internos em espaços de polinômios. Precisamos calcular o produto interno entre dois polinômios p(x) e q(x) , assim como as normas desses polinômios e da soma deles. Para isso, vamos utilizar a definição de produto interno e as propriedades das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto interno lang<= p(x), q(x) rang<= , que é definido como a integral do produto dos dois polinômios no intervalo de 0 a 1:
lang<= p(x), q(x) rang<= = integral0^1 p(x) cdot q(x) , dx
Substituindo p(x) = x^3 - x - 1 e q(x) = x^2 + 1 :
lang<= p(x), q(x) rang<= = integral0^1 (x^3 - x - 1)(x^2 + 1) , dx
Vamos multiplicar os polinômios:
(x^3 - x - 1)(x^2 + 1) = x^5 + x^3 - x^3 - x - x^2 - 1 = x^5 - x^2 - x - 1
Agora, integramos cada termo separadamente:
integral0^1 x^5 , dx = x^66 |0^1 = 16
integral0^1 -x^2 , dx = -x^33 |0^1 = -13
integral0^1 -x , dx = -x^22 |0^1 = -12
integral0^1 -1 , dx = -x |0^1 = -1
Somando tudo:
lang<= p(x), q(x) rang<= = 16 - 13 - 12 - 1 = -53

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma de cada polinômio. A norma de um polinômio p(x) é dada por:
|p(x)| = raizlang<= p(x), p(x) rang<= = raizintegral0^1 [p(x)]^2 , dx
Vamos começar com |p(x)| :
|p(x)| = raizintegral0^1 (x^3 - x - 1)^2 , dx
Expandindo o quadrado:
(x^3 - x - 1)^2 = x^6 - 2x^4 - 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1
Integrando termo a termo:
integral0^1 x^6 , dx = 17
integral0^1 -2x^4 , dx = -25
integral0^1 -2x^3 , dx = -12
integral0^1 2x^2 , dx = 23
integral0^1 2x , dx = 1
integral0^1 1 , dx = 1
Somando os resultados:
lang<= p(x), p(x) rang<= = 17 - 25 - 12 + 23 + 1 + 1 = 401210
Portanto:
|p(x)| = raiz401210 approx 1,381

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de q(x) :
|q(x)| = raizintegral0^1 (x^2 + 1)^2 , dx
Expandindo o quadrado:
(x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1
Integrando termo a termo:
integral0^1 x^4 , dx = 15
integral0^1 2x^2 , dx = 23
integral0^1 1 , dx = 1
Somando os resultados:
lang<= q(x), q(x) rang<= = 15 + 23 + 1 = 2815
Portanto:
|q(x)| = raiz2815 approx 1,366

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a norma da soma p(x) + q(x) :
|p(x) + q(x)| = raizlang<= p(x) + q(x), p(x) + q(x) rang<= = raizintegral0^1 (p(x) + q(x))^2 , dx
Primeiro, somamos os polinômios:
p(x) + q(x) = (x^3 - x - 1) + (x^2 + 1) = x^3 + x^2 - x
Expandindo o quadrado:
(x^3 + x^2 - x)^2 = x^6 + 2x^5 - x^4 - 2x^3 + x^2
Integrando termo a termo:
integral0^1 x^6 , dx = 17
integral0^1 2x^5 , dx = 13
integral0^1 -x^4 , dx = -15
integral0^1 -2x^3 , dx = -12
integral0^1 x^2 , dx = 13
Somando os resultados:
lang<= p(x) + q(x), p(x) + q(x) rang<= = 17 + 13 - 15 - 12 + 13 = 23210
Portanto:
|p(x) + q(x)| = raiz23210 approx 0,331

Resposta

lang<= p(x), q(x) rang<= = -53 approx -1,666
|p(x)| approx 1,381
|q(x)| approx 1,366
|p(x) + q(x)| approx 0,331

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