Seja U=(x, y, z, t) in R^4 mid x+y=0 e 2 x+z=y subespaço vetorial de R^4. Determine uma base ortonormal de U e U^perp

Passo 1

O enunciado define o subespaço
U=(x,y,z,t)inR^4mid x+y=0,;2x+z=y
e pede uma base ortonormal de U e de U^perp.
Conteúdo principal: resolver o sistema linear para parametrizar U e depois aplicar o processo de Gram–Schmidt para ortonormalizar as bases de U e de U^perp.

Passo 2

Resolvendo as duas equações em (x,y,z,t):
  1. x+y=0 implica y=-x.
  2. 2x+z=y com y=-x 2x+z=-x, ou seja z=-3x.
    A variável t é livre. Logo todo vetor de U é
(x,y,z,t)=(x,-x,-3x,t)=x,(1,-1,-3,0)+t,(0,0,0,1)
Assim uma base natural de U é
v1=(1,-1,-3,0), v2=(0,0,0,1)

Passo 3

Verificamos que v1 e v2 são ortogonais:
v1cdot v2 =1cdot0+(-1)cdot0+(-3)cdot0+0cdot1 =0
Agora normalizamos cada um:
|v1|=raiz1^2+(-1)^2+(-3)^2+0^2=raiz11, |v2|=1
Logo uma base ortonormal de U é
e1=1raiz11,(1,-1,-3,0), e2=(0,0,0,1)

Passo 4

Para achar U^perp note que ele é gerado pelos vetores normais às equações de U. As equações escritas como produto escalar são
(1,1,0,0)cdot(x,y,z,t)=0, (2,-1,1,0)cdot(x,y,z,t)=0
Portanto uma base de U^perp é
n1=(1,1,0,0), n2=(2,-1,1,0)

Passo 5

Ortonormalizamos n1,n2 por Gram–Schmidt.
Defina w1=n1 e
w2 =n2-projw1(n2) =n2-n2cdot w1w1cdot w1,w1
Calculamos
n2cdot w1 =2cdot1+(-1)cdot1+1cdot0+0cdot0=1, w1cdot w1=1^2+1^2=2,
w2=(2,-1,1,0)-tfrac12,(1,1,0,0)=(3/2,-3/2,1,0),
|w1|=raiz2, |w2|=raizl(tfrac32r)^2+l(-tfrac32r)^2+1^2 =raiztfrac112
Assim a base ortonormal fica
f1=1raiz2,(1,1,0,0), f2=1raiz11/2l(tfrac32,-tfrac32,1,0r) =1raiz22,(3,-3,2,0)

Resposta

Uma base ortonormal de U é
l1raiz11,(1,-1,-3,0),;(0,0,0,1)r
Uma base ortonormal de U^perp é
l1raiz2,(1,1,0,0),;1raiz22,(3,-3,2,0)r

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