Seja
subespaço vetorial de
. Determine uma base ortonormal de
e
Passo 1
O enunciado define o subespaço
e pede uma base ortonormal de
e de
.
Conteúdo principal: resolver o sistema linear para parametrizar e depois aplicar o processo de Gram–Schmidt para ortonormalizar as bases de
e de
.
Conteúdo principal: resolver o sistema linear para parametrizar
Passo 2
Resolvendo as duas equações em
:
-
implica . -
com dá , ou seja .
A variávelé livre. Logo todo vetor de é
Assim uma base natural de
é
Passo 3
Verificamos que
e
são ortogonais:
Agora normalizamos cada um:
Logo uma base ortonormal de
é
Passo 4
Para achar
note que ele é gerado pelos vetores normais às equações de
. As equações escritas como produto escalar são
Portanto uma base de
é
Passo 5
Ortonormalizamos
por Gram–Schmidt.
Defina e
Defina
Calculamos
Assim a base ortonormal fica
Resposta
Uma base ortonormal de
é
Uma base ortonormal de
é