Tomando u=(1,2) e v=(3,4) em R^2, calcule lang<= u, vrang<=,|u|,|v| e d(u, v)
  • o produto interno definido acima
  • o produto interno usual do R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no plano R^2 : u = (1, 2) e v = (3, 4) . A missão aqui é calcular o produto interno entre eles lang<= u, v rang<= , as normas de cada vetor |u| e |v| , e a distância entre eles d(u, v) . Para isso, vamos usar o produto interno usual do R^2 .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto interno. No R^2 , o produto interno entre dois vetores u = (u1, u2) e v = (v1, v2) é dado por:
lang<= u, v rang<= = u1 cdot v1 + u2 cdot v2
Isso basicamente multiplica as componentes correspondentes dos vetores e soma o resultado.

Passo 3

Agora, vamos calcular lang<= u, v rang<= usando os vetores que temos:
u = (1, 2) e v = (3, 4)
Aplicando a fórmula:
lang<= u, v rang<= = 1 cdot 3 + 2 cdot 4 = 3 + 8 = 11
Então, o produto interno entre u e v é 11.

Passo 4

Vamos calcular as normas dos vetores u e v . A norma de um vetor u = (u1, u2) no R^2 é dada por:
|u| = raizu1^2 + u2^2
Isso representa o comprimento do vetor.
Primeiro, para u = (1, 2) :
|u| = raiz1^2 + 2^2 = raiz1 + 4 = raiz5 approx 2,236
Agora, para v = (3, 4) :
|v| = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
Então, as normas são |u| approx 2,236 e |v| = 5 .

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância entre os vetores u e v . A distância entre dois vetores no R^2 é dada pela norma da diferença entre eles:
d(u, v) = |u - v|
Ou seja, subtraímos as componentes correspondentes dos vetores e calculamos a norma do vetor resultante.

Passo 6

Vamos calcular u - v :
u - v = (1 - 3, 2 - 4) = (-2, -2)
Agora, calculamos a norma desse vetor:
|u - v| = raiz(-2)^2 + (-2)^2 = raiz4 + 4 = raiz8 approx 2,828
Então, a distância entre u e v é aproximadamente 2,828.

Resposta

  • Produto interno: lang<= u, v rang<= = 11
  • Norma de u : |u| approx 2,236
  • Norma de v : |v| = 5
  • Distância entre u e v : d(u, v) approx 2,828

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