Consideremos o espaço vetorial munido do produto interno dado por . Tomando e B=[ll1 & 0 0 & 0], calcule lang<= A, Brang<=,|A|,|B| ed (A, B).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente está trabalhando no espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem n com entradas reais, ou seja, Mn(R) . O produto interno nesse espaço é definido por lang<= A, B rang<= = tr(B^t A) , onde tr representa a traça da matriz, que é a soma dos elementos da diagonal principal.
A gente precisa calcular quatro coisas:
O produto interno lang<= A, B rang<= .
A norma de A , escrita como |A| .
A norma de B , escrita como |B| .
O valor (A, B) que, nesse contexto, vamos interpretar como o cosseno do ângulo entre A e B .
Para isso, vamos precisar lembrar como calcular a traça de uma matriz e como usar o produto interno para encontrar normas e o ângulo entre vetores em um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto interno lang<= A, B rang<= .
Por fim, vamos calcular (A, B) . Nesse contexto, vamos interpretar (A, B) como o cosseno do ângulo entre A e B no espaço vetorial com o produto interno dado.
A fórmula para o cosseno do ângulo theta entre dois vetores A e B é:
cos(theta) = lang<= A, B rang<=|A| cdot |B|
Já calculamos:
lang<= A, B rang<= = 1
|A| = raiz3
|B| = 1
Então:
cos(theta) = 1raiz3 cdot 1 = 1raiz3
Resposta
lang<= A, B rang<= = 1, |A| = raiz3, |B| = 1, (A, B) = 1raiz3