Consideremos o espaço vetorial Mn(R) munido do produto interno lang<=rang<=:, Mn(R) times Mn(R) R dado por lang<= A, Brang<==tr(B^t A). Tomando A=[ll1 & 1 0 & 1] e B=[ll1 & 0 0 & 0], calcule lang<= A, Brang<=,|A|,|B| ed (A, B).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente está trabalhando no espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem n com entradas reais, ou seja, Mn(R) . O produto interno nesse espaço é definido por lang<= A, B rang<= = tr(B^t A) , onde tr representa a traça da matriz, que é a soma dos elementos da diagonal principal.
A gente precisa calcular quatro coisas:
  1. O produto interno lang<= A, B rang<= .
  2. A norma de A , escrita como |A| .
  3. A norma de B , escrita como |B| .
  4. O valor (A, B) que, nesse contexto, vamos interpretar como o cosseno do ângulo entre A e B .
Para isso, vamos precisar lembrar como calcular a traça de uma matriz e como usar o produto interno para encontrar normas e o ângulo entre vetores em um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto interno lang<= A, B rang<= .
Dadas as matrizes:
A = 1 & 1 0 & 1 e B = 1 & 0 0 & 0
O produto interno é definido por:
lang<= A, B rang<= = tr(B^t A)
Primeiro, calculamos B^t :
B^t = 1 & 0 0 & 0
(Como B é simétrica, a transposta é igual a B ).
Agora multiplicamos B^t por A :
B^t A = 1 & 0 0 & 0 1 & 1 0 & 1 = (1)(1) + (0)(0) & (1)(1) + (0)(1) (0)(1) + (0)(0) & (0)(1) + (0)(1) = 1 & 1 0 & 0
Agora, calculamos a traça dessa matriz:
tr(B^t A) = 1 + 0 = 1
Então,
lang<= A, B rang<= = 1

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma de A , ou seja, |A| .
A norma é definida como:
|A| = raizlang<= A, A rang<=
Então, primeiro calculamos lang<= A, A rang<= :
lang<= A, A rang<= = tr(A^t A)
Como A é:
A = 1 & 1 0 & 1
A transposta de A é:
A^t = 1 & 0 1 & 1
Multiplicando A^t por A :
A^t A = 1 & 0 1 & 1 1 & 1 0 & 1 = (1)(1) + (0)(0) & (1)(1) + (0)(1) (1)(1) + (1)(0) & (1)(1) + (1)(1) = 1 & 1 1 & 2
Agora, a traça de A^t A é:
tr(A^t A) = 1 + 2 = 3
Portanto:
|A| = raiz3

Passo 4

Vamos agora calcular a norma de B , ou seja, |B| .
A norma é definida como:
|B| = raizlang<= B, B rang<=
Então, primeiro calculamos lang<= B, B rang<= :
lang<= B, B rang<= = tr(B^t B)
Como B é:
B = 1 & 0 0 & 0
A transposta de B é:
B^t = 1 & 0 0 & 0
Multiplicando B^t por B :
B^t B = 1 & 0 0 & 0 1 & 0 0 & 0 = (1)(1) + (0)(0) & (1)(0) + (0)(0) (0)(1) + (0)(0) & (0)(0) + (0)(0) = 1 & 0 0 & 0
Agora, a traça de B^t B é:
tr(B^t B) = 1 + 0 = 1
Portanto:
|B| = raiz1 = 1

Passo 5

Por fim, vamos calcular (A, B) . Nesse contexto, vamos interpretar (A, B) como o cosseno do ângulo entre A e B no espaço vetorial com o produto interno dado.
A fórmula para o cosseno do ângulo theta entre dois vetores A e B é:
cos(theta) = lang<= A, B rang<=|A| cdot |B|
Já calculamos:
lang<= A, B rang<= = 1
|A| = raiz3
|B| = 1
Então:
cos(theta) = 1raiz3 cdot 1 = 1raiz3

Resposta

lang<= A, B rang<= = 1, |A| = raiz3, |B| = 1, (A, B) = 1raiz3

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