Ortonormalize as bases:
B=(1,1),(1,2) de R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente ortonormalizar a base B = (1,1), (1,2) no espaço R^2. Isso significa que queremos encontrar duas novas vetores que sejam ortogonais (perpendiculares) entre si e que cada um seja unitário (com comprimento 1). Para isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt, que nos ajuda a transformar uma base qualquer em uma base ortonormal.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os vetores da base original de v1 = (1,1) e v2 = (1,2) . O objetivo é transformar v1 em um vetor unitário e depois ajustar v2 para que seja ortogonal a v1 e também unitário.

Passo 3

Vamos começar normalizando v1 . A normalização de um vetor v é dada por:
u1 = v1|v1|
Primeiro, calculamos a norma (comprimento) de v1 :
|v1| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2
Então, u1 fica:
u1 = 1raiz2, (1,1) = (1raiz2, 1raiz2)

Passo 4

Agora, vamos ortogonalizar v2 em relação a u1 . Isso significa que vamos remover a parte de v2 que está na direção de u1 . A fórmula para isso é:
v2' = v2 - proju1(v2)
onde a projeção proju1(v2) é:
proju1(v2) = ( v2 cdot u1u1 cdot u1 ) u1
Calculando:
v2 cdot u1 = (1)(1raiz2) + (2)(1raiz2) = 3raiz2
u1 cdot u1 = (1raiz2)^2 + (1raiz2)^2 = 12 + 12 = 1
Então:
proju1(v2) = 3raiz2 cdot (1raiz2, 1raiz2) = (32, 32)
Portanto:
v2' = (1,2) - (32, 32) = (1 - 32, 2 - 32) = (-12, 12)

Passo 5

Agora, vamos normalizar v2' para obter u2 :
u2 = v2'|v2'|
Calculando a norma de v2' :
|v2'| = raiz(-12)^2 + (12)^2 = raiz14 + 14 = raiz12 = raiz22
Então:
u2 = 1raiz22 cdot (-12, 12) = raiz2 cdot (-12, 12) = (-raiz22, raiz22)

Resposta

A base ortonormalizada é:
( 1raiz2, 1raiz2 ), ( -raiz22, raiz22 )

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