Ortonormalize as bases:
de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente ortonormalizar a base
no espaço
. Isso significa que queremos encontrar duas novas vetores que sejam ortogonais (perpendiculares) entre si e que cada um seja unitário (com comprimento 1). Para isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt, que nos ajuda a transformar uma base qualquer em uma base ortonormal.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os vetores da base original de
e
. O objetivo é transformar
em um vetor unitário e depois ajustar
para que seja ortogonal a
e também unitário.
Passo 3
Vamos começar normalizando
. A normalização de um vetor
é dada por:
Primeiro, calculamos a norma (comprimento) de
:
Então,
fica:
Passo 4
Agora, vamos ortogonalizar
em relação a
. Isso significa que vamos remover a parte de
que está na direção de
. A fórmula para isso é:
onde a projeção
é:
Calculando:
Então:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos normalizar
para obter
:
Calculando a norma de
:
Então:
Resposta
A base ortonormalizada é: