Considere
como sendo o espaço de todas as funções reais de uma variável real
de
em
. Mostrar que os seguintes pares de vetores a seguir são LI :
.
Passo 1
O enunciado está em
, o espaço de todas as funções reais em
. Queremos mostrar que as funções
são linearmente independentes (LI). Para isso, usaremos a definição de independência linear em espaços de funções: a combinação
implica
.
Passo 2
Suponha que existam escalares
e
tais que
Nosso objetivo é provar que necessariamente
e
.
Passo 3
Observe que
para todo
. Podemos dividir a combinação por
sem alterar as soluções:
Passo 4
Escolhendo
, obtemos
Com
, a equação do passo anterior fica
o que só é possível se
.
Resposta
As únicas constantes que satisfazem
em todo
são
e
. Portanto,
e
são linearmente independentes.