Considere V[a, b] como sendo o espaço de todas as funções reais de uma variável real t de [a, b] em R. Mostrar que os seguintes pares de vetores a seguir são LI :
t e^t, e^2 t.

Passo 1

O enunciado está em V[a,b], o espaço de todas as funções reais em [a,b]. Queremos mostrar que as funções
f1(t)=t e^t e f2(t)=e^2t
são linearmente independentes (LI). Para isso, usaremos a definição de independência linear em espaços de funções: a combinação
c1f1(t)+c2f2(t)=0para todo tin[a,b]
implica c1=c2=0.

Passo 2

Suponha que existam escalares c1 e c2 tais que
c1,t e^t + c2,e^2t = 0 para todo tin[a,b]
Nosso objetivo é provar que necessariamente c1=0 e c2=0.

Passo 3

Observe que e^t>0 para todo t. Podemos dividir a combinação por e^t sem alterar as soluções:
c1,t + c2,e^t = 0 para todo tin[a,b]

Passo 4

Escolhendo t=0, obtemos
c1cdot 0 + c2,e^0 = 0 ;Longrightarrow; c2cdot 1=0 ;Longrightarrow; c2=0
Com c2=0, a equação do passo anterior fica
c1,t = 0 para todo tin[a,b],
o que só é possível se c1=0.

Resposta

As únicas constantes que satisfazem c1,t e^t + c2,e^2t=0 em todo [a,b] são c1=0 e c2=0. Portanto, t e^t e e^2t são linearmente independentes.

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