(a) Encontre uma base B para o plano x+y+z=0 em R^3.
(b) Usando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, transforme B em uma base ortonormal.

Passo 1

O enunciado pede (a) achar uma base B do plano x+y+z=0 em R^3 e (b) aplicar Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal. Sabemos que esse plano é um subespaço de dimensão 2, então precisamos de dois vetores independentes que satisfaçam x+y+z=0.

Passo 2

Escolhemos dois vetores que pertencem ao plano:
v1 = (1,-1,0), v2 = (1,0,-1)
Ambos satisfazem x+y+z=0 e são linearmente independentes. Logo, B=v1,v2 é uma base do plano.

Passo 3

Aplicamos Gram–Schmidt. Primeiro definimos u1 = v1 e normalizamos:
|u1| = raiz1^2+(-1)^2+0^2 = raiz2, e1 = u1|u1| = l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2,0r)

Passo 4

Calculamos o segundo vetor ortogonal a e1:
proju1(v2) = v2cdotu1u1cdotu1,u1 = 12(1,-1,0) = l(tfrac12,-tfrac12,0r)
Logo,
u2 = v2 - proju1(v2) = l(tfrac12,tfrac12,-1r),
e
|u2| = raizl(tfrac12r)^2+l(tfrac12r)^2+(-1)^2 = raiztfrac32 = raiz62
Assim,
e2 = u2|u2| = l(tfrac1raiz6,tfrac1raiz6,-tfrac2raiz6r)

Passo 5

Concluímos que e1,e2 é uma base ortonormal do plano x+y+z=0.

Resposta

(a) Uma base do plano é
B=(1,-1,0),(1,0,-1)
(b) A base ortonormal obtida por Gram–Schmidt é
l,(1/raiz2,-1/raiz2,0),;(1/raiz6,1/raiz6,-2/raiz6)r

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