Considere V[a, b] como sendo o espaço de todas as funções reais de uma variável real t de [a, b] em R. Mostrar que os seguintes pares de vetores a seguir são LI :
sen t, cos t.

Passo 1

O enunciado nos pede para provar que as funções sin t e cos t são linearmente independentes no espaço V[a,b]. Lembrando que um par de funções f,g é linearmente independente se da combinação
A,f(t) + B,g(t)=0para todo tin[a,b]
segue-se que A=0 e B=0.

Passo 2

Suponha que existam escalares A,BinR tais que
Asin t + Bcos t = 0
para todo tin[a,b]. Essa igualdade diz que a combinação linear de sin t e cos t é a função zero em todo o intervalo.

Passo 3

Como a igualdade vale para todo t, podemos diferenciá-la em relação a t. Usando ddtsin t=cos t e ddtcos t=-sin t, obtemos
Acos t - Bsin t = 0
para todo tin[a,b]. Agora temos simultaneamente
Asin t + Bcos t = 0, Acos t - Bsin t = 0

Passo 4

Para cada t, o sistema
sin t & cos t cos t & -sin t A B = 00
tem determinante
det sin t & cos t cos t & -sin t = -sin^2 t - cos^2 t = -1 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, a única solução é A=0 e B=0.

Resposta

As funções sin t e cos t são linearmente independentes em V[a,b].

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