Considere
como sendo o espaço de todas as funções reais de uma variável real
de
em
. Mostrar que os seguintes pares de vetores a seguir são LI :
.
Passo 1
O enunciado nos pede para provar que as funções
e
são linearmente independentes no espaço
. Lembrando que um par de funções
é linearmente independente se da combinação
segue-se que
e
.
Passo 2
Suponha que existam escalares
tais que
para todo
. Essa igualdade diz que a combinação linear de
e
é a função zero em todo o intervalo.
Passo 3
Como a igualdade vale para todo
, podemos diferenciá-la em relação a
. Usando
e
, obtemos
para todo
. Agora temos simultaneamente
Passo 4
Para cada
, o sistema
tem determinante
Como o determinante é diferente de zero, a única solução é
e
.
Resposta
As funções
e
são linearmente independentes em
.