Sejam vetores linearmente independentes de um espaço vetorial . Dado ,
defina
Prove que são linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado dá vetores linearmente independentes em um espaço e define, para cada ,
Queremos provar que os vetores também são linearmente independentes. O conteúdo teórico é a definição de independência linear e o fato de que, se uma combinação linear dos for zero, isso induz uma combinação linear dos .
Passo 2
Suponha que exista uma combinação linear nula dos , ou seja, sejam escalares tais que
Nosso objetivo é mostrar que .
Passo 3
Substituímos cada pela soma dos :
Trocando a ordem de soma (índices de 1 a 5 e, para cada , vai de a 5), obtemos
Passo 4
Como são linearmente independentes, cada coeficiente na combinação acima deve ser zero. Assim, para cada vale
Passo 5
Escrevendo essas equações de trás para frente:
Portanto, todos os alphai são zero.
Resposta
Como a única combinação que anula ,w1,dots,w5 é trivial, concluímos que ,w1,dots,w5 são linearmente independentes.