Sejam v1, ldots, v5 vetores linearmente independentes de um espaço vetorial V. Dado i=1, ldots, 5,
defina
wi=sumj=1^i vj
Prove que w1, ldots, w5 são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado dá vetores ,v1,dots,v5 linearmente independentes em um espaço V e define, para cada i=1,dots,5,
wi ;=;sumj=1^ivj
Queremos provar que os vetores ,w1,dots,w5 também são linearmente independentes. O conteúdo teórico é a definição de independência linear e o fato de que, se uma combinação linear dos wi for zero, isso induz uma combinação linear dos vj.

Passo 2

Suponha que exista uma combinação linear nula dos wi, ou seja, sejam escalares alpha1,dots,alpha5 tais que
sumi=1^5alphai,wi=0
Nosso objetivo é mostrar que alpha1=alpha2=cdots=alpha5=0.

Passo 3

Substituímos cada wi pela soma dos vj:
sumi=1^5alphai,l(sumj=1^ivjr) ;=; sumi=1^5sumj=1^ialphai,vj
Trocando a ordem de soma (índices j de 1 a 5 e, para cada j, i vai de j a 5), obtemos
sumj=1^5l(sumi=j^5alphair),vj ;=;0

Passo 4

Como v1,dots,v5 são linearmente independentes, cada coeficiente na combinação acima deve ser zero. Assim, para cada j=1,dots,5 vale
sumi=j^5alphai=0

Passo 5

Escrevendo essas equações de trás para frente:
sumi=5^5alphai=alpha5=0, sumi=4^5alphai=alpha4+alpha5=0;Rightarrow;alpha4=0, sumi=3^5alphai=alpha3+alpha4+alpha5=0;Rightarrow;alpha3=0, sumi=2^5alphai=alpha2+alpha3+alpha4+alpha5=0;Rightarrow;alpha2=0, sumi=1^5alphai=alpha1+alpha2+alpha3+alpha4+alpha5=0;Rightarrow;alpha1=0
Portanto, todos os alphai são zero.

Resposta

Como a única combinação que anula ,w1,dots,w5 é trivial, concluímos que ,w1,dots,w5 são linearmente independentes.

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