Considere uma sequência convergente e tal que a_{n} \in[0,1] para todo n \in \mathbb{N}. Com base no conceito formal de convergência, o que se pode dizer (e demonstrar) a respeito do limite desta sequência?

Passo 1

O enunciado diz que (a_n) é convergente e que
a_n\in[0,1]\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
Seja L=\lim_{n\to\infty}a_n. Usaremos o conceito formal de convergência: \forall\varepsilon>0\;\exists N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|a_n - L| < \varepsilon.
Queremos mostrar que 0\le L\le 1.

Passo 2

Provar que L\ge 0. Fixe um \varepsilon>0. Pela convergência, existe N tal que, para n\ge N,
|a_n - L|<\varepsilon.
Isso implica duas desigualdades:
a_n - L<\varepsilon \quad\Longrightarrow\quad L> a_n - \varepsilon,
e
L - a_n<\varepsilon \quad\Longrightarrow\quad L< a_n + \varepsilon.
Como a_n\ge 0, da primeira temos
L> -\varepsilon.
Como isso vale para todo \varepsilon>0, concluímos L\ge 0.

Passo 3

Provar que L\le 1. Novamente, para qualquer \varepsilon>0 e n\ge N, temos de novo
L< a_n + \varepsilon.
Agora, como a_n\le 1, segue
L< 1 + \varepsilon.
Como \varepsilon>0 é arbitrário, isso mostra L\le 1.

Resposta

O limite L=\lim_{n\to\infty}a_n satisfaz
0 \le L \le 1,
logo L\in[0,1].

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