Considere uma sequência convergente e tal que
para todo
. Com base no conceito formal de convergência, o que se pode dizer (e demonstrar) a respeito do limite desta sequência?
Passo 1
O enunciado diz que
é convergente e que
Seja
. Usaremos o conceito formal de convergência:
tal que, para todo
,
Queremos mostrar que
.
Passo 2
Provar que
. Fixe um
. Pela convergência, existe
tal que, para
,
Isso implica duas desigualdades:
e
Como
, da primeira temos
Como isso vale para todo
, concluímos
.
Passo 3
Provar que
. Novamente, para qualquer
e
, temos de novo
Agora, como
, segue
Como
é arbitrário, isso mostra
.
Resposta
O limite
satisfaz
logo
.