Escreva a sentença matemática que define a divergência de uma sequência.

Passo 1

O enunciado pede a forma lógica que caracteriza a divergência de uma sequência real (x_{n}), isto é, a negação da definição de convergência.

Passo 2

Relembrando, dizemos que (x_{n}) converge para L\in\mathbb{R} se, e somente se,
\forall \epsilon>0\;\exists N\in\mathbb{N}\;\forall n\ge N:\;|x_{n}-L|<\epsilon.

Passo 3

Para obter a definição de divergência, basta negar toda a sentença acima. A negação troca \forall por \exists, \exists por \forall e inverte a desigualdade em cada parte.

Passo 4

Aplicando a negação, obtemos que (x_{n}) não converge para nenhum L\in\mathbb{R}, ou seja, diverge, se e somente se
\forall L\in\mathbb{R}\;\exists \epsilon>0\;\forall N\in\mathbb{N}\;\exists n\ge N:\;|x_{n}-L|\ge\epsilon.

Resposta

\forall L\in\mathbb{R}\;\exists \epsilon>0\;\forall N\in\mathbb{N}\;\exists n\ge N:\;|x_{n}-L|\ge\epsilon.

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