Se duplicarmos o raio de uma esfera, o que acontece com o volume? E com a área da superfície?

Passo 1

O enunciado pergunta o que ocorre com o volume e com a área da superfície de uma esfera quando duplicamos seu raio. O conteúdo é geometria de sólidos, em especial as fórmulas da esfera, que dependem de potências de r.

Passo 2

A fórmula do volume de uma esfera de raio r é
V = \frac{4}{3}\pi r^3
e a fórmula da área da superfície é
A = 4\pi r^2.
Note que o volume cresce com r^3 e a área cresce com r^2.

Passo 3

Se o novo raio for r' = 2r, o novo volume V' vale
V' = \frac{4}{3}\pi (2r)^3 = \frac{4}{3}\pi \,2^3 r^3 = 8\;\frac{4}{3}\pi r^3 = 8V.
Logo, o volume fica 8 vezes maior.

Passo 4

Com o mesmo raciocínio, a nova área A' é
A' = 4\pi (2r)^2 = 4\pi \,2^2 r^2 = 4\,(4\pi r^2) = 4A.
Portanto, a área da superfície fica 4 vezes maior.

Resposta

O volume aumenta por um fator 8, e a área da superfície aumenta por um fator 4.

Exercícios relacionados