Considere a sequência
correspondente ao método de Newton para calcular
, ou seja, a sequência definida por
.
- Mostre que
, para todo
.
- Mostre que
, para todo
.
(Isto explica porque o erro no cálculo de
cai tão rapidamente no Método de Newton.)
(Isto explica porque o erro no cálculo de
Passo 1
O enunciado define a sequência
pelo método de Newton para
, ou seja
Precisamos mostrar duas coisas:
-
para todo . - A fórmula do erro
Passo 2
Mostramos por indução em
que
Base
:
satisfaz
.
Passo indutivo: suponha e defina
Passo indutivo: suponha
Então
.
i) Para ,
i) Para
logo
.
ii) Para ,
ii) Para
que é verdade em
. Como
, segue
.
Isso fecha a indução.
Isso fecha a indução.
Passo 3
Para a relação de erro calculamos
Isso mostra exatamente
Resposta
- Para todo
vale . - A fórmula de erro é