Considere a sequência (xn) correspondente ao método de Newton para calcular raiz2, ou seja, a sequência definida por x1=1, xn+1=12(xn+2xn).
  • Mostre que 1 <= xn <= 32, para todo n.
  • Mostre que xn+1-raiz2=12 xn(xn-raiz2)^2, para todo n.
    (Isto explica porque o erro no cálculo de raiz2 cai tão rapidamente no Método de Newton.)

Passo 1

O enunciado define a sequência xn pelo método de Newton para raiz2, ou seja
x1 = 1, xn+1 = 12l(xn + 2xnr)
Precisamos mostrar duas coisas:
  1. 1 <= xn <= tfrac32 para todo n.
  2. A fórmula do erro
xn+1 - raiz2 = 12xn,(xn - raiz2)^2

Passo 2

Mostramos por indução em n que
1 <= xn <= tfrac32
Base n=1: x1=1 satisfaz 1<=1<=tfrac32.
Passo indutivo: suponha 1<= xn<=tfrac32 e defina
f(x)=tfrac12l(x+2xr)
Então xn+1=f(xn).
i) Para x>=1,
f(x)-1 =12l(x+2x-2r) =(x-1)^2+12x >=0,
logo f(x)>=1.
ii) Para 1<= x<=2,
f(x)<= tfrac32 iff x+2x<=3 iff x^2-3x+2<=0 iff (x-1)(x-2)<=0,
que é verdade em [1,2]. Como xn<=tfrac32<=2, segue xn+1<=tfrac32.
Isso fecha a indução.

Passo 3

Para a relação de erro calculamos
xn+1-raiz2 =12l(xn+2xnr)-raiz2 =xn^2+2-2raiz2,xn2xn =(xn-raiz2)^22xn
Isso mostra exatamente
xn+1-raiz2 =12xn,(xn-raiz2)^2

Resposta

  1. Para todo n vale 1<= xn<=tfrac32.
  2. A fórmula de erro é
xn+1-raiz2 =12xn,(xn-raiz2)^2

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