Os resultados correspondentes aos testes para uma grande turma de estatística apresentam uma distribuição desconhecida, com média aritmética de 70 e desvio-padrão de 10 .
a. Encontre
de maneira que pelo menos
dos resultados estejam contidos dentro dos limites de
desvios-padrão em relação à média aritmética.
b. Encontre
, de maneira que no máximo
dos resultados estejam mais do que
desvios-padrão acima da média aritmética.
a. Encontre
b. Encontre
Passo 1
Resumindo o enunciado: a gente tem uma grande turma cujos resultados seguem distribuição desconhecida, com média aritmética de 70 e desvio-padrão de 10. O conteúdo aqui é probabilidade, usando principalmente a desigualdade de Chebyshev (para garantir frações em torno da média) e depois a desigualdade de Cantelli (para limite unilateral), porque não sabemos nada além da média e do desvio-padrão.
Passo 2
Para a parte (a) usamos a desigualdade de Chebyshev, que serve pra distribuir uma fração mínima dos dados em volta da média. Ela diz:
Queremos que pelo menos 50% dos resultados fiquem nesse intervalo, ou seja:
Logo
Passo 3
A gente resolve
Como k é positivo, k=
(aprox. 1,414).
Passo 4
Para a parte (b) queremos que no máximo 10% dos resultados fiquem mais de k desvios-padrão acima da média, ou seja
Como é um limite unilateral usamos a desigualdade de Cantelli (ou desigualdade de um lado de Chebyshev):
Passo 5
Então impomos
Logo k=3.
Passo 6
Pronto! A gente achou os dois valores de k que garantem as frações desejadas sem precisar saber a forma exata da distribuição.
Resposta
a)
b)