Os resultados correspondentes aos testes para uma grande turma de estatística apresentam uma distribuição desconhecida, com média aritmética de 70 e desvio-padrão de 10 .
a. Encontre k de maneira que pelo menos 50 % dos resultados estejam contidos dentro dos limites de k desvios-padrão em relação à média aritmética.
b. Encontre k, de maneira que no máximo 10 % dos resultados estejam mais do que k desvios-padrão acima da média aritmética.

Passo 1

Resumindo o enunciado: a gente tem uma grande turma cujos resultados seguem distribuição desconhecida, com média aritmética de 70 e desvio-padrão de 10. O conteúdo aqui é probabilidade, usando principalmente a desigualdade de Chebyshev (para garantir frações em torno da média) e depois a desigualdade de Cantelli (para limite unilateral), porque não sabemos nada além da média e do desvio-padrão.

Passo 2

Para a parte (a) usamos a desigualdade de Chebyshev, que serve pra distribuir uma fração mínima dos dados em volta da média. Ela diz:
Pl(|X-mu|<k,sigmar)>=1-1k^2
Queremos que pelo menos 50% dos resultados fiquem nesse intervalo, ou seja:
P(|X-mu|<k,sigma)>=0.5
Logo
1-1k^2>=0.5

Passo 3

A gente resolve
1-1k^2>=0.5 iff 1k^2<=0.5 iff k^2>=2 iff k>=raiz2
Como k é positivo, k= raiz2 (aprox. 1,414).

Passo 4

Para a parte (b) queremos que no máximo 10% dos resultados fiquem mais de k desvios-padrão acima da média, ou seja
P(X-mu>= k,sigma)<=0.1
Como é um limite unilateral usamos a desigualdade de Cantelli (ou desigualdade de um lado de Chebyshev):
P(X-mu>= k,sigma)<=11+k^2

Passo 5

Então impomos
11+k^2<=0.1 iff 1+k^2>=10 iff k^2>=9 iff k>=3
Logo k=3.

Passo 6

Pronto! A gente achou os dois valores de k que garantem as frações desejadas sem precisar saber a forma exata da distribuição.

Resposta

a) k=raiz2 b) k=3

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