Questão 4) ( 7 pontos)
Calcular a área da superfície que é cortada do parabolóide z-x^2-y^2=0 pelo plano z=16.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da porção da superfície do parabolóide z–x²–y²=0 que fica abaixo do plano z=16. O conteúdo aqui é área de superfície de gráfico de função z=f(x,y). Vamos usar a fórmula de área de superfície para z=f(x,y).

Passo 2

A superfície é dada por z=f(x,y)=x²+y². As parciais são f_x=2x e f_y=2y, então o elemento de área é
raiz1+(fx)^2+(fy)^2=raiz1+4x^2+4y^2
Logo a área é A=integral duplaDraiz1+4x^2+4y^2,dA, onde D é o disco x²+y²≤16.

Passo 3

Para simplificar, passamos a coordenadas polares: x=r\cosθ, y=r\sinθ, dA=r,dr,dθ, com r de 0 a 4 e θ de 0 a 2π. Ficamos com
A=integral0^2πintegral0^4raiz1+4r^2,r,dr,dθ

Passo 4

Agora calculamos o integral interno por substituição u=1+4r^2, du=8r,dr. Quando r=0, u=1; quando r=4, u=65. Assim:
integral0^4raiz1+4r^2,r,dr=18integral1^65u^1/2,du=18cdot23l(u^3/2r)|1^65=112(65^3/2-1)
Multiplicando por ∫₀^{2π}dθ=2π, obtemos
A=2πcdot112(65^3/2-1)=π6(65raiz65-1)

Resposta

A=π6l(65raiz65-1r).

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