Questão 4) ( 7 pontos)
Calcular a área da superfície que é cortada do parabolóide
pelo plano
.
Calcular a área da superfície que é cortada do parabolóide
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da porção da superfície do parabolóide z–x²–y²=0 que fica abaixo do plano z=16. O conteúdo aqui é área de superfície de gráfico de função z=f(x,y). Vamos usar a fórmula de área de superfície para z=f(x,y).
Passo 2
A superfície é dada por z=f(x,y)=x²+y². As parciais são f_x=2x e f_y=2y, então o elemento de área é
Logo a área é
, onde D é o disco x²+y²≤16.
Passo 3
Para simplificar, passamos a coordenadas polares: x=r\cosθ, y=r\sinθ, dA=r,dr,dθ, com r de 0 a 4 e θ de 0 a 2π. Ficamos com
Passo 4
Agora calculamos o integral interno por substituição u=1+4r^2, du=8r,dr. Quando r=0, u=1; quando r=4, u=65. Assim:
Multiplicando por ∫₀^{2π}dθ=2π, obtemos