Esboce a região limitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Desenhe um retângulo típico de aproximação e coloque sua altura e largura. Então calcule a área da região.
y=x, y=raiz[3]x

Passo 1

O enunciado pede a região limitada pelas curvas
y = x
e
y = raiz[3]x
e o cálculo de sua área. Vamos usar conhecimento de interseção de curvas e integração de tiras verticais para obter essa área.

Passo 2

Primeiro encontramos os pontos de interseção resolvendo
x = raiz[3]x Longrightarrow x^3 = x Longrightarrow x(x^2 - 1)=0
Logo
x = -1,;0,;1,
com pontos de interseção (-1,-1), (0,0) e (1,1).

Passo 3

Como ambas as curvas estão na forma y=f(x), escolhemos integrar em x.
Um retângulo típico tem largura De<a x e altura
ytop(x) - ybot(x)
Para xin[-1,0], ytop=x e ybot=raiz[3]x.
Para xin[0,1], ytop=raiz[3]x e ybot=x.

Passo 4

A área total é a soma das áreas para cada intervalo:
A =integral-1^0l(x - raiz[3]xr),dx +integral0^1l(raiz[3]x - xr),dx

Passo 5

Calculamos as primitivas:
integral x,dx = tfracx^22, integral x^1/3,dx = tfrac34,x^4/3
Então
integral0^1l(x^1/3-xr),dx =l[tfrac34x^4/3-tfracx^22r]0^1 =l(tfrac34-tfrac12r)=tfrac14,
e
integral-1^0l(x-raiz[3]xr),dx =l[tfracx^22-tfrac34x^4/3r]-1^0 =l(0 - ( tfrac12 - tfrac34)r) =tfrac14

Passo 6

Somando as duas partes,
A = tfrac14 + tfrac14 = tfrac12

Resposta

A área da região é tfrac12.

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