Considere
uma sequência cujo cada termo é estritamente maior que 0 .
Defina então
. Justifique o seguinte resultado, através do Teorema do Confronto:
DICA: Como
tende a
e
, a partir de um certo momento os termos da sequência serão maiores que algum número
, com
(Por quê?). Escreva então
e use a progressão geométrica.
A.
Defina então
A.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma sequência
com
para todo
e definimos
Sabemos que
com
, e queremos mostrar que
. O conteúdo é usar o Teorema do Confronto (se uma sequência fica acima de outra que tende a
, então ela também tende a
) e a ideia de progressão geométrica.
Passo 2
Como
, existe
tal que
. Pelo critério de convergência, existe
tal que para todo
temos
Defina
Então
e
para todo
.
Passo 3
Para
, escrevemos
Como cada fator
para
, segue
Passo 4
Agora note que
implica
quando
. Logo
e a sequência à direita tende a
. Pelo Teorema do Confronto,
.
Resposta
Fica demonstrado que, se
, então
.