Considere xnn in N uma sequência cujo cada termo é estritamente maior que 0 .
Defina então yn=xn+1xn. Justifique o seguinte resultado, através do Teorema do Confronto:
Se yn L, com L>1 , então xn infty ã
DICA: Como yn tende a L e L>1, a partir de um certo momento os termos da sequência serão maiores que algum número M, com M>1 (Por quê?). Escreva então xn=xnxn-1 xn-1xn-2 xn-2xn-3 cdots xk+1xk xk e use a progressão geométrica.
A. xn=n+sin (1 / n)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma sequência xn com xn>0 para todo n e definimos
yn=xn+1xn
Sabemos que ynto L com L>1, e queremos mostrar que xntoinfty. O conteúdo é usar o Teorema do Confronto (se uma sequência fica acima de outra que tende a infty, então ela também tende a infty) e a ideia de progressão geométrica.

Passo 2

Como ynto L>1, existe varepsilon>0 tal que L-varepsilon>1. Pelo critério de convergência, existe NinN tal que para todo n>= N temos
|yn - L|<varepsilon Longrightarrow yn > L - varepsilon
Defina
M = L - varepsilon
Então M>1 e yn > M para todo n>= N.

Passo 3

Para n>k>= N, escrevemos
xn =xnxn-1;xn-1xn-2;cdots;xk+1xk;xk =l(yn-1,yn-2cdots ykr),xk
Como cada fator yj> M para j>= k>= N, segue
xn > M^,n-k,xk

Passo 4

Agora note que M>1 implica M^,n-ktoinfty quando ntoinfty. Logo
xn > xk,M^,n-k
e a sequência à direita tende a infty. Pelo Teorema do Confronto, xntoinfty.

Resposta

Fica demonstrado que, se ynto L>1, então xntoinfty.

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