Considere xnn in N uma sequência cujo cada termo é estritamente maior que 0 .
Defina então yn=xn+1xn. Justifique o seguinte resultado, através o Teorema do Confronto:
Se yn L , com L<1 , então xn 0 ã
DICA: o argumento é semelhante.
  • Use os dois resultados anteriores e os resultados estudados em sala de aula para estudar os limites das seguintes sequências:
    A. xn=2^nn!
    B. xn=3^nn!
    C. xn=a^nn!, a in R
    D. xn=2^nn
    E. xn=a^nn, a>1 ou a<-1
    F. xn=a^nn, a in[-1,1]

Passo 1

O enunciado trata de uma sequência xnninN com xn>0 e define
yn=xn+1xn
Queremos provar, usando o Teorema do Confronto, que se ynto L com L<1, então xnto0. Em seguida, aplicaremos esse resultado para estudar os limites das sequências A a F.

Passo 2

Como ynto L<1, escolhemos um número r tal que
L<r<1
Pela definição de limite, existe NinN tal que para todo n>= N vale
yn = xn+1xn < r
Isto implica
xn+1 < r,xn, forall n>= N

Passo 3

Aplicando recursivamente a desigualdade do passo anterior, para todo m>=0 temos
xN+m < r^m,xN
Como 0<r<1, segue r^mto0 quando mtoinfty. Pelo Teorema do Confronto, xN+mto0, e portanto xnto0.

Passo 4

Para xn=2^nn! calculamos
yn = xn+1xn=2^n+1/(n+1)!2^n/n!=2n+1longrightarrow0<1
Pelo resultado anterior, xnto0.

Passo 5

Para xn=3^nn! temos
yn=3n+1longrightarrow0<1,
logo xnto0.

Passo 6

Para xn=a^nn! com ainR,
yn=an+1longrightarrow0<1,
e assim xnto0.

Passo 7

Para xn=2^nn sai
yn=2nn+1longrightarrow2>1
Escolhendo 1<r<2 e o mesmo tipo de argumento, obtemos xnto+infty.

Passo 8

Para xn=a^nn com lvert arvert>1,
yn=a,nn+1longrightarrow a,lvert arvert>1
Logo lvert xnrverttoinfty. Se a>1 então xnto+infty; se a<-1 xn alterna sinal mas lvert xnrverttoinfty.

Passo 9

Para xn=a^nn com ain[-1,1], temos
lvert ynrvert=lvert arvert,nn+1longrightarrowlvert arvert<=1
Se lvert arvert<1, então lvert ynrvert<r<1 para n grande e lvert xnrvertto0. Se a=pm1, xn=pm1/nto0. Logo xnto0.

Resposta

A. xn=tfrac2^nn!to0
B. xn=tfrac3^nn!to0
C. xn=tfraca^nn!to0 para todo ainR
D. xn=tfrac2^nnto+infty
E. xn=tfraca^nn com lvert arvert>1 diverge em módulo ( to+infty se a>1, alterna sinal e lvert xnrverttoinfty se a<-1)
F. xn=tfraca^nnto0 para todo ain[-1,1]

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