Considere
uma sequência cujo cada termo é estritamente maior que 0 .
Defina então
. Justifique o seguinte resultado, através o Teorema do Confronto:
DICA: o argumento é semelhante.
- Use os dois resultados anteriores e os resultados estudados em sala de aula para estudar os limites das seguintes sequências:
A.
B.
C.
D.
E.
ou
F.
Defina então
A.
B.
C.
D.
E.
F.
Passo 1
O enunciado trata de uma sequência
com
e define
Queremos provar, usando o Teorema do Confronto, que se
com
, então
. Em seguida, aplicaremos esse resultado para estudar os limites das sequências A a F.
Passo 2
Como
, escolhemos um número
tal que
Pela definição de limite, existe
tal que para todo
vale
Isto implica
Passo 3
Aplicando recursivamente a desigualdade do passo anterior, para todo
temos
Como
, segue
quando
. Pelo Teorema do Confronto,
, e portanto
.
Passo 4
Para
calculamos
Pelo resultado anterior,
.
Passo 5
Para
temos
logo
.
Passo 6
Para
com
,
e assim
.
Passo 7
Para
sai
Escolhendo
e o mesmo tipo de argumento, obtemos
.
Passo 8
Para
com
,
Logo
. Se
então
; se
alterna sinal mas
.
Passo 9
Para
com
, temos
Se
, então
para
grande e
. Se
,
. Logo
.
Resposta
A.
B.
C. para todo
D.
E. com
diverge em módulo (
se
, alterna sinal e
se
)
F. para todo
B.
C.
D.
E.
F.