Determine e classifique os pontos críticos da seguinte função:
f: R 7 R dada por f(x)=cosh (x-1)

Passo 1

O enunciado pede para achar e classificar os pontos críticos da função
fcolon RtoR, f(x)=cosh(x-1)
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas (para encontrar pontos críticos em que f'=0) e uso do teste da segunda derivada (para classificar esses pontos como mínimo, máximo ou ponto de sela).

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando que dducosh(u)=sinh(u) e a regra da cadeia:
f'(x)=sinhl(x-1r)cdotddx(x-1) =sinh(x-1)cdot1 =sinh(x-1)
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
f'(x)=0 Longrightarrow sinh(x-1)=0
Como sinh(t)=0 exatamente em t=0, segue que
x-1=0 Longrightarrow x=1
é o único ponto crítico.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada para classificar o ponto crítico. Sabemos que ddusinh(u)=cosh(u), logo
f''(x)=cosh(x-1)cdotddx(x-1) =cosh(x-1)
Como cosh(t)>0 para todo tinR, temos f''(x)>0 em toda reta real.

Passo 4

Em particular, no ponto crítico x=1,
f''(1)=cosh(1-1)=cosh(0)=1>0
Pelo teste da segunda derivada, um ponto onde f'(x)=0 e f''(x)>0 é um mínimo local. Como cosh(x-1)>=1 para todo x e atinge 1 apenas em x=1, este mínimo é também global, com
f(1)=cosh(0)=1

Resposta

O único ponto crítico é x=1, que é ponto de mínimo local (e global) de f, com valor f(1)=1.

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