Determine e classifique os pontos críticos da seguinte função:
dada por
Passo 1
O enunciado pede para achar e classificar os pontos críticos da função
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas (para encontrar pontos críticos em que
) e uso do teste da segunda derivada (para classificar esses pontos como mínimo, máximo ou ponto de sela).
Passo 2
Calculamos a primeira derivada usando que
e a regra da cadeia:
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
Como
exatamente em
, segue que
é o único ponto crítico.
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada para classificar o ponto crítico. Sabemos que
, logo
Como
para todo
, temos
em toda reta real.
Passo 4
Em particular, no ponto crítico
,
Pelo teste da segunda derivada, um ponto onde
e
é um mínimo local. Como
para todo
e atinge
apenas em
, este mínimo é também global, com
Resposta
O único ponto crítico é
, que é ponto de mínimo local (e global) de
, com valor
.