Determine e classifique os pontos críticos da seguinte função:
f: R 7 R dada por f(x)=x^3- ^15 x^2+18 x+1

Passo 1

O enunciado pede para achar e classificar os pontos críticos da função
f(x)=x^3-15x^2+18x+1
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas: primeiro encontramos f'(x) e resolvemos f'(x)=0 para achar os pontos críticos. Depois usamos o teste da segunda derivada f''(x) para ver se cada ponto é mínimo ou máximo local.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:
f'(x)=ddxl(x^3-15x^2+18x+1r) =3x^2-30x+18 =3l(x^2-10x+6r)

Passo 3

Resolvendo f'(x)=0:
3l(x^2-10x+6r)=0 Longrightarrow x^2-10x+6=0
As raízes dessa equação são
x=10pmraiz100-242 =10pmraiz762 =5pmraiz19
Logo os pontos críticos são x1=5-raiz19 e x2=5+raiz19.

Passo 4

Para classificar, usamos a segunda derivada:
f''(x)=ddxl(3x^2-30x+18r) =6x-30
Avaliam-se os sinais em cada ponto:
f''(5-raiz19)=6(5-raiz19)-30 =-6raiz19<0 Longrightarrowmáximo local, á
f''(5+raiz19)=6(5+raiz19)-30 =6raiz19>0 Longrightarrowmínimo local í

Resposta

O ponto crítico x=5-raiz19 é um máximo local
e o ponto crítico x=5+raiz19 é um mínimo local.

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