A sequência \left(x_{n}\right) tal que x_{n}=\frac{(-1)^{n} \sin (n)}{3} possui alguma subsequência convergente? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a sequência x_{n}=\dfrac{(-1)^{n}\sin(n)}{3} para n\in\mathbb{N} e pergunta se existe alguma subsequência convergente. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A fórmula explícita da sequência: x_{n}=\dfrac{(-1)^{n}\sin(n)}{3}.
  • A função \sin(\cdot) tem valores em [-1,1], logo cada x_{n} satisfaz |x_{n}|\le\dfrac{1}{3}.
    O que se pede: responder se existe (pelo menos) uma subsequência (x_{n_k}) que converge, e justificar.

Passo 2

Definições e lembretes importantes (explicados de modo simples).
  • Uma subsequência de (x_n) é uma sequência (x_{n_k}) com n_1<n_2<\cdots e cada n_k\in\mathbb{N}.
  • Dizer que (x_{n_k}) converge para L significa que, para todo \varepsilon>0, existe K tal que |x_{n_k}-L|<\varepsilon para todo k\ge K.
  • Teorema de Bolzano–Weierstrass (forma prática que usaremos): toda sequência real limitada tem uma subsequência convergente. Intuição rápida: valores ficam dentro de um intervalo fechado e compacto, e não dá para distribuir infinitos pontos sem que algum subconjunto tenda a um ponto limite.

Passo 3

Mostro que a sequência é limitada (passo simples e crucial para aplicar Bolzano–Weierstrass).
Para todo n,
|x_{n}|=\left|\dfrac{(-1)^{n}\sin(n)}{3}\right|=\dfrac{|\sin(n)|}{3}\le\dfrac{1}{3},
pois |\sin(n)|\le1. Portanto a sequência (x_n) está contida no intervalo fechado \left[-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}\right]. Conclusão: (x_n) é limitada.

Passo 4

Aplico o Teorema de Bolzano–Weierstrass.
Como (x_n) é uma sequência limitada em \mathbb{R}, o teorema garante que existe pelo menos uma subsequência convergente. Aqui não é necessário construir explicitamente a subsequência para garantir sua existência: a propriedade topológica do intervalo fechado basta.

Passo 5

Interpretação e conclusão imediata.
Portanto existe (pelo menos) uma subsequência convergente de (x_n). Isso responde diretamente à pergunta principal: sim, a sequência possui subsequência convergente.

Passo 6

(Mais: explicação complementar — isto não é exigido, mas é útil para aprender o comportamento da sequência.)
Na verdade temos algo bem mais forte: a sequência (x_n) tem subsequências que convergem para qualquer L\in\left[-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right]. Ideia por trás disso (esboço, em linguagem simples):
  • Os restos de n módulo 2\pi (ou seja, os valores de n vistos no círculo trigonométrico) formam uma sequência densa em [0,2\pi) porque 1 não é múltiplo racional de 2\pi (essa é uma consequência clássica da irracionalidade de \pi e de resultados sobre aproximação por múltiplos inteiros).
  • Como \sin é contínua, a densidade de n módulo 2\pi implica que os valores \sin(n) são dense em [-1,1].
  • O conjunto \{(-1)^n\sin(n)\} é a união dos conjuntos \{\sin(2k)\} e \{-\sin(2k+1)\}; essa união também é densa em [-1,1].
  • Escalando por 1/3 obtém-se densidade de \{x_n\} em \left[-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right]. Densidade significa: para qualquer L nesse intervalo e qualquer \varepsilon>0 existe n tal que |x_n-L|<\varepsilon. A partir disso é fácil extrair uma subsequência que converge exatamente para L.
    Esta parte usa um fato clássico (densidade de (n\bmod 2\pi)), cujo desenvolvimento rigoroso passa por teoremas de números reais (Kronecker/ aproximação diophantina), mas a conclusão prática é: não só existe uma subsequência convergente, como existem subsequências convergindo para qualquer ponto do intervalo \left[-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right].

Resposta

Sim. A sequência é limitada ( |x_n|\le \tfrac{1}{3} para todo n), então por Bolzano–Weierstrass existe pelo menos uma subsequência convergente; além disso, de fato existem subsequências convergindo para qualquer L\in\left[-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right].

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