Considere a sequência ( a_{n} ) dada por
a_{1}=10 \quad \text { e } \quad a_{n}=\frac{a_{n-1}}{2}+\frac{1}{a_{n-1}}, \quad \text { para } n>1
(a) Mostre que ela é decrescente.
(b) Mostre que ela é limitada inferiormente.
(c) Conclua que ela é convergente e calcule seu limite.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência (a_n) definida por
a_{1}=10 \quad\text{e}\quad a_{n}=\frac{a_{n-1}}{2}+\frac{1}{a_{n-1}},\quad\text{para } n>1.
O que o problema pede:
(a) Mostrar que a sequência é decrescente (ou seja, a_n<a_{n-1} para todo n>1).
(b) Mostrar que ela é limitada inferiormente (ou seja, existe um número m tal que a_n\ge m para todo n).
(c) Concluir que é convergente e calcular o seu limite.
Informações relevantes dadas:
  • Valor inicial a_{1}=10.
  • Relação de recorrência a_{n}= \dfrac{a_{n-1}}{2}+\dfrac{1}{a_{n-1}} para n>1.

Passo 2

Vamos estudar a função que define o passo da recorrência. Defina, para x>0,
f(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}.
Analisar f(x) nos ajuda a comparar a_n=f(a_{n-1}) com a_{n-1} e com possíveis limites. Calcule a diferença f(x)-x:
f(x)-x=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}-x=-\frac{x}{2}+\frac{1}{x}=\frac{2-x^{2}}{2x}.
Dessa fórmula segue que:
  • Se x^{2}>2 (ou seja, x>\sqrt{2}) então 2-x^{2}<0 e assim f(x)-x<0, logo f(x)<x.
  • Se x=\sqrt{2} então f(x)-x=0, logo f(\sqrt{2})=\sqrt{2}.
  • Se 0<x<\sqrt{2} então f(x)-x>0, logo f(x)>x.
Esses sinais vão ser cruciais para mostrar monotonicidade e limitaridade.

Passo 3

Mostrar que todos os termos ficam acima de \sqrt{2} (isso dará a cotação inferior e permitirá usar o critério do passo anterior).
Prova por indução que
a_n>\sqrt{2}\quad\text{para todo }n\ge1.
Base: a_{1}=10>\sqrt{2}.
Passo indutivo: suponha a_{k-1}>\sqrt{2}. Então, usando a recorrência e a expressão de f(x)-\sqrt{2} (ver abaixo), temos
a_k=f(a_{k-1})=\frac{a_{k-1}}{2}+\frac{1}{a_{k-1}}.
Calcule f(x)-\sqrt{2}. Multiplicando por 2x para simplificar:
2x\big(f(x)-\sqrt{2}\big)=x^{2}+2-2\sqrt{2}\,x=(x-\sqrt{2})^{2}\ge0.
Para x>0 isso dá
f(x)-\sqrt{2}=\frac{(x-\sqrt{2})^{2}}{2x}\ge0,
com igualdade só em x=\sqrt{2}. Assim, se a_{k-1}>\sqrt{2} então a_k=f(a_{k-1})>\sqrt{2}. Pela hipótese indutiva isso vale para todo n. Portanto todos os termos satisfazem a_n>\sqrt{2}.

Passo 4

Com o resultado do passo anterior, use agora o sinal de f(x)-x para obter a monotonicidade.
Como provado no Passo 2, para x>\sqrt{2} temos f(x)<x. Aplicando isso a x=a_{n-1}, e lembrando do Passo 3 que a_{n-1}>\sqrt{2} para todo n>1, segue que
a_n=f(a_{n-1})<a_{n-1}\quad\text{para todo }n>1.
Portanto a sequência é estritamente decrescente a partir de n=2 (isto é, a_n<a_{n-1} para todo n>1), o que responde a letra (a).

Passo 5

Mostrar que a sequência é limitada inferiormente.
Do Passo 3 já temos que a_n>\sqrt{2} para todo n. Logo \sqrt{2} é uma cota inferior da sequência; isto é, a sequência é limitada inferiormente. Assim a letra (b) está resolvida: existe m=\sqrt{2} tal que a_n\ge m para todo n.

Passo 6

Concluir convergência usando o teorema do ponto fixo monotônico.
Uma sequência que é monótona e limitada converge. Aqui temos:
  • monotonicidade decrescente (Passo 4),
  • e tem cota inferior \sqrt{2} (Passo 5).
Portanto (a_n) é convergente. Seja
\ell=\lim_{n\to\infty}a_n.

Passo 7

Determinar o limite \ell.
Tome limite na relação de recorrência a_n=\dfrac{a_{n-1}}{2}+\dfrac{1}{a_{n-1}}. Como a_n\to\ell e a_{n-1}\to\ell, podemos passar ao limite em ambos os lados e obter:
\ell=\frac{\ell}{2}+\frac{1}{\ell}.
Resolver essa equação para \ell. Subtraindo \dfrac{\ell}{2} de ambos os lados:
\frac{\ell}{2}=\frac{1}{\ell}.
Multiplicando por \ell:
\frac{\ell^{2}}{2}=1\quad\Rightarrow\quad \ell^{2}=2.
As soluções são \ell=\sqrt{2} ou \ell=-\sqrt{2}. Como todos os termos a_n são positivos (por exemplo a_1=10>0 e a recorrência preserva positividade), o limite não pode ser negativo. Portanto
\ell=\sqrt{2}.

Resposta

(a) A sequência é decrescente: a_n<a_{n-1} para todo n>1.
(b) A sequência é limitada inferiormente: a_n>\sqrt{2} para todo n, logo uma cota inferior é \sqrt{2}.
(c) A sequência converge e seu limite é \sqrt{2}.

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