Considere a sequência (
) dada por
(a) Mostre que ela é decrescente.
(b) Mostre que ela é limitada inferiormente.
(c) Conclua que ela é convergente e calcule seu limite.
(b) Mostre que ela é limitada inferiormente.
(c) Conclua que ela é convergente e calcule seu limite.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
definida por
O que o problema pede:
(a) Mostrar que a sequência é decrescente (ou seja, para todo
).
(b) Mostrar que ela é limitada inferiormente (ou seja, existe um número tal que
para todo
).
(c) Concluir que é convergente e calcular o seu limite.
(a) Mostrar que a sequência é decrescente (ou seja,
(b) Mostrar que ela é limitada inferiormente (ou seja, existe um número
(c) Concluir que é convergente e calcular o seu limite.
Informações relevantes dadas:
- Valor inicial
. - Relação de recorrência
para .
Passo 2
Vamos estudar a função que define o passo da recorrência. Defina, para
,
Analisar
nos ajuda a comparar
com
e com possíveis limites. Calcule a diferença
:
Dessa fórmula segue que:
- Se
(ou seja, ) então e assim , logo . - Se
então , logo . - Se
então , logo .
Esses sinais vão ser cruciais para mostrar monotonicidade e limitaridade.
Passo 3
Mostrar que todos os termos ficam acima de
(isso dará a cotação inferior e permitirá usar o critério do passo anterior).
Prova por indução que
Base:
.
Passo indutivo: suponha
. Então, usando a recorrência e a expressão de
(ver abaixo), temos
Calcule
. Multiplicando por
para simplificar:
Para
isso dá
com igualdade só em
. Assim, se
então
. Pela hipótese indutiva isso vale para todo
. Portanto todos os termos satisfazem
.
Passo 4
Com o resultado do passo anterior, use agora o sinal de
para obter a monotonicidade.
Como provado no Passo 2, para
temos
. Aplicando isso a
, e lembrando do Passo 3 que
para todo
, segue que
Portanto a sequência é estritamente decrescente a partir de
(isto é,
para todo
), o que responde a letra (a).
Passo 5
Mostrar que a sequência é limitada inferiormente.
Do Passo 3 já temos que
para todo
. Logo
é uma cota inferior da sequência; isto é, a sequência é limitada inferiormente. Assim a letra (b) está resolvida: existe
tal que
para todo
.
Passo 6
Concluir convergência usando o teorema do ponto fixo monotônico.
Uma sequência que é monótona e limitada converge. Aqui temos:
- monotonicidade decrescente (Passo 4),
- e tem cota inferior
(Passo 5).
Portanto
é convergente. Seja
Passo 7
Determinar o limite
.
Tome limite na relação de recorrência
. Como
e
, podemos passar ao limite em ambos os lados e obter:
Resolver essa equação para
. Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando por
:
As soluções são
ou
. Como todos os termos
são positivos (por exemplo
e a recorrência preserva positividade), o limite não pode ser negativo. Portanto
Resposta
(a) A sequência é decrescente:
para todo
.
(b) A sequência é limitada inferiormente:
para todo
, logo uma cota inferior é
.
(c) A sequência converge e seu limite é
.